II. — Lignes asymptotiques ; généralités

4. On appelle ligne asymptotique d*une surface une courbe tracée sur cette surface et tangente, en chacun de ses points, à l'une des asymptotes de l'indicatrice. Il ne peut exister de lignes asymptotiques que dans les régions où la surface est à courbures opposées.

D'après cette définition, la section normale, faite dans une surface par un plan qui contient la tangente à une asympto-

LIGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES DE COURBURE. l53

tique en un point, présente en ce point un rayon de courbure infini. Réciproquement, si une section normale présente, en un point, un rayon de courbure infini, elle est tangente à l'une des asymptotes de l'indicatrice en ce point. Or, la formule (12) du Chapitre précédent, qui fait connaître le rayon de courbure R d'une section normale, peut s'écrire

v/i -f-/?*-h q'^ __^ dx'^ -^ is dx dy -\r t dy^ R "" 5^2

Si donc il existe des lignes asymptotiques, on aura en chacun de leurs points R = 00 et, par suite,

(i) r dx^ -\- is dx df -\- t dy^ = o

ou, ce qui revient au même,

(i') dp dx H- dq dy = o.

Telle sera, sous deux formes équivalentes, l'équation différentielle des lignes asymptotiques. De la première on tire, dans l'hypothèse rt — 52< o, qui correspond aux courbures opposées,

les fonctions (p^ et ^2 sont continues aux environs de tout point simple. Donc, par tout point simple d^une région où la surface est à courbures opposées passent deux lignes asymptotiques,

5. Voici une propriété caractéristique des lignes asymptotiques, qui permet d'étendre au cas des coordonnées obliques l'équation différentielle de ces courbes, obtenue en supposant les axes rectangulaires : En tout point d^une ligne asymptotique, le plan osculateur à la courbe est tangent à la surface. Réciproquement, toute courbe dont le plan osculateur reste tangent à une surface est ligne asymptotique de cette surface. Considérons, en effet, le plan tangent aux divers points {x^y, z) d'une courbe. Son équation étant

l54 CHAPITRE YIII.

pour exprimer qu'il est osculateur (Ch. VI, n®6) à la courbe lieu du point {oc,y^ z)^ on a les deux conditions

dz = p dx -h q dy^ d^z =p d^x -+- q d^y,

La première est vérifiée d'elle-même, puisque la courbe est tracée sur la surface; mais, en la difTérentiant et tenant compte de la seconde, on retrouve l'équation différentielle des asjmptotiques

(i') dp dx-\~ dq dy = o,

ce qui démontre à la fois la proposition et la réciproque. Il n'y a qu'une exception possible, celle des courbes dont le plan osculateur est indéterminé; mais ces courbes sont des droites, et il est évident que toute droite, dont les points sont des points simples d'une surface, est une ligne asymptotique de cette surface, parce que, la section normale qui contient cette droite ayant partout son rayon de courbure infini, la droite se confond avec l'une des asymptotes de l'indicatrice en chacun de ses points.

6. A raison de la propriété que nous venons de reconnaître comme caractérisant les lignes asymptotiques, on dit que la définition des asymptotiques est projectile. On entend par là que, si Von effectue sur une surface une transformation hom,ographique quelconque, les courbes transformées de ses asymptotiques sont les asym,ptotiques de sa transformée. Il est clair en effet que, dans cette transformation, un plan osculateur, qui est la limite d'un plan passant par trois points infiniment voisins sur une courbe, se transforme dans le plan osculateur de la courbe correspondante, et qu'un plan langent devient le plan tangent de la surface transformée. Comme cas particulier de cette proposition capitale, considérons deux surfaces qui aient la même équation, l'une étant rapportée à des axes rectangulaires, l'autre à des axes obliques. Gomme chacune d'elles est une transformée homographique de l'autre, leurs lignes asymptotiques ont même équation différentielle puisqu'elles se correspondent et V équation

(i') dp dx -^ dq dy =^ o

est valable en coordonnées obliques comme en coordonnées rectangulaires.

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