I. — Éléments géométriques des divers ordres

i . Définitions. — On appelle éléments du n^^^^ ordre tous les éléments géométriques d'une figure (courbe ou surface) dont la détermination exige la connaissance des coordonnées des points de cette figure, ainsi que de leurs dérivées des n premiers ordres par rapport aux paramètres dont elles dépendent. On appelle /?/*opriétés du n^^^*^ ordre celles dans l'énoncé desquelles n'interviennent que des éléments des n premiers ordres.

Pour que ces définitions aient un sens, il faut évidemment qu'un élément géométrique, qui est d'un certain ordre dans un certain système de représentation de la figure à laquelle il appartient, reste de cet ordre quand on substitue aux paramètres primitifs des paramètres nouveaux. C'est ce qui résulte de la théorie des changements de variables : on sait, en effet, que si œ,y, z, .,. sont des fonctions de/? paramètres w, p, tv, .. ., et si l'on établit entre w, p, ^v, . . . et /? nouveaux paramètres w', v'j w' ^ . . . des équations ^/i^e^ (c'est-à-dire ne contenant pas de dérivées) propres à déterminer les premiers en fonction des seconds, les dérivées d'ordre n des ^, y, ^, . . . par rapport aux w, (^, tv, . . . s'expriment en fonction des dérivées prises par rapport aux w', v\ iv' j . . . jusqu'au même ordre /i, ni plus ni moins.

Nous allons définir et étudier dans ce Chapitre les principaux éléments du premier ordre, tangente, élément d'arc, plan tangent, élément linéaire. Nous nous occuperons plus tard des éléments d'ordre supérieur.