III. — Lignes asymptotiques de certaines surfaces

7. Avant de l'appliquer à des exemples, nous chercherons directement les asymptotiques de quelques surfaces. Toute surface réglée a une famille (T asymptotiques composée de ses génératrices; cela résulte de ce que toute droite tracée sur une surface est une asymptotique (nous étudierons au Chapitre X l'autre famille d'asymptotiques des surfaces réglées). Les surfaces du second degré ont leurs deux familles d^ asymptotiques composées de leurs deux systèmes de génératrices rectilignes. Sur les surfaces développables, les deux directions asymptotiques sont partout confondues : il en résulte que les surfaces développables ne présentent qu'une seule famille de lignes asymptotiques, formée de leurs génératrices. Dans le plan, les asymptotiques sont absolument indéterminées, les plans osculateurs de toute courbe plane étant confondus avec le plan même de la courbe. On démontre les réciproques des deux derniers énoncés en exprimant que l'équation

(i) rdx^-\-isdxdy-^tdy^ = o

a ses racines égales ou indéterminées.

Considérons maintenant V hélicoïde minimum, surface engendrée par les normales principales d'une hélice circulaire (H). Ces droites, qui forment une première famille d'asymptotiques, sont toutes perpendiculaires aux génératrices du cylindre qui porte l'hélice (H). Je dis que tout cylindre de révolution ayant même axe que l'hélice coupe la surface suivant une courbe qui est une de ses lignes asymptotiques. En effet, cette courbe est une hélice, la distance de chacun de ses points à une section droite du cylindre qui la porte étant proportionnelle à l'arc de cette section droite; elle admet donc pour normales principales les normales principales de l'hélice (H). Par suite, en chacun de ses points son plan osculateur est déterminé par sa tangente et par la génératrice rectiligne de la surface, de sorte qu'il se confond avec le plan tangent; ce qui prouve que la seconde famille d'asymptotiques de Vhélicoïde minimum est formée de toutes les hélices découpées sur la surface par les cylindres de révolution

l56 CHAPITRE YIII.

parallèles à son axe. Ajoutons que cet hélicoïde est une surface minima (Ch. VII, n° 8); car, ses asymptotiques étant partout orthogonales, l'indicatrice est une hyperbole équilatère.

8. L'hélicoïde minimum est une surface réglée à plan directeur. Nous allons déterminer par le calcul les lignes asymptotiques de toutes les surfaces de cette nature. Si l'on prend pour plan àesyz le plan directeur, l'équation

représentera toutes les surfaces en question. On en déduit aisément les dérivées secondes de z, et l'équation générale (i) devient

{y^" -\- 'j/*)c?a?*-i- 1^' dx dy ^ o,

les accents désignant des dérivées prises par rapport à x. Cette équation admet d'abord la solution dx = o, qui correspond aux génératrices rectilignes. L'autre famille d'asymptotiques est représentée en projection sur le plan des xy par une équation linéaire, qu'on intègre immédiatement en divisant tous ses termes par ^cp'. On a ainsi successivement

/— , , 9" dx Y dx

2/<p dy -^ y ±-—r -h -^-j=r- = o,

2 vi/cp'-+- / -^dx = const.

Le problème dépend donc, quelle que soit la surface, d'une seule quadrature. Dans le cas particulier des conoïdes, on peut prendre pour axe des x la directrice rectiligne. Alors la fonction if se réduit à zéro, et l'on obtient les asymptotiques, sans aucune quadrature, par l'équation

y^ ff'(x) = consU

Si l'on particularise encore de manière à obtenir l'hélicoïde mi-

nimum, ce qui se fera en prenant ^{x) = tang t> on retrouvera le résultat obtenu au paragraphe précédent.