IV. — Lignes de courbure ; généralités
9. Une ligne tracée sur une surface est dite ligne de courbure si les normales menées à la surface en tous les points de cette ligne forment une surface développable.
D'après cette définition, toute courbe tracée sur un plan est ligne de courbure du plan, les normales formant un cylindre; toute courbe tracée sur une sphère est ligne de courbure de la sphèrCy les normales concourant toutes au centre de la sphère.
Considérons maintenant un point simple M(x,j^, 5) d'une surface rapportée à des axes rectangulaires. La normale en ce point a pour équations
(2) X= — pZ'^-x-'rpz, X = — qTu -\- y ->t- q z,
La condition nécessaire et suffisante pour que cette droite engendre une développable (Ch. III, n** 12) est
d{x -^ pz) ___ d(y -\- q z) dp dq
ou plus simplement
dx -hp dz __ dy -\- q dz ^^^ djp ■" d^
Les courbes cherchées appartenant à la surface, on a
dz-^p dx -\- q dy, dp = r dx -h s dy, dq = s dx -^ t dy.
Il vient donc
(i ->r p^) dx -h pq dy ^ pq dx -\- {i -\- q^) dy ^ ' r dx -^ s dy ~ s dx -\-tdy
Telle est l'équation différentielle, du premier ordre et du second degré, dont dépend le problème. Si l'on y remplace rf^ et dy par a et p, on retrouve l'équation
(iH-/?^)a-hjpyP jpyg4-(r-l-y^)P
qui détermine les cosinus des directions principales au point M. Donc, l'équation (4) a toujours ses racines réelles et distinctes et
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parfaitement déterminées en tout point qui n'est pas un ombilic ; on en tire
Les fonctions f^ et f^ sont continues dans le voisinage du point (^î jk) > ^^ 1^ résulte l'existence de deux fonctions j^ satisfaisant à ces équations différentielles et, par suite, de deux courbes qui sont les projections sur le plan xOy des lignes de courbure cherchées. Donc, par tout point simple, autre qu'un ombilic, passent deux lignes de courbure; elles sont tangentes aux deux directions principales de la surface. Cette dernière propriété résulte de la substitution déjà faite de a et ^ à dx et dy dans l'équation (4). A raison de cette propriété, les lignes de courbure forment le seul réseau conjugué et orthogonal (n® 1) qui existe sur une surface autre qu'un plan ou une sphère. Cette remarque importante nous servira plus tard.
10. Le point I où la normale ( 9.) touche son enveloppe a, comme on Ta vu (Ch. III, n" 12), pour coordonnée Z la valeur commune des rapports
dp dq
On déduit de là
„ dx -h p dz dy -{-g dz
dp dq
OU encore
roi -h 5p 5a -h t^
La valeur de ces rapports ayant été trouvée (Ch. VII^ n** 8) égale à l'inverse de roL^-h 25a|3 + ^p^^ i^ ^ du point I est le même, en vertu d'une formule établie antérieurement (Ch. VII,n*»6, Bem.), que celui du point N, centre de courbure de la section principale qui correspond à la direction principale (a, p, y) ; donc ce point coïncide avec le point N. Ainsi, quand le point d'incidence d^une normale tend vers un point M suivant une ligne de courbure, le point où cette droite touche constamment son enveloppe tend vers le centre de courbure de la section principale, tangente en M à la ligne de courbure considérée.
