V. — Lignes de courbure de certaines surfaces

H. Voici quelques exemples de détermination de lignes de courbure. Pour certaines surfaces on aperçoit immédiatement deux systèmes de lignes de courbure et, comme il n'en existe que deux, le problème est résolu. Pour d'autres surfaces on connaît un premier système de lignes de courbure; le second est alors formé des trajectoires orthogonales du premier, c'est-à-dire des courbes de la surface qui coupent à angle droit toutes les lignes de ce système.

Considérons d'abord les surfaces de révolution. Les normales aux divers points d'un parallèle forment un cône de révolution ; les normales aux divers points d'un méridien sont dans le plan méridien. Donc, toute surface de révolution a pour lignes de courbure ses parallèles et ses méridiens.

Pour les surfaces développables, les génératrices forment un premier système de lignes de courbure, puisque les normales sont perpendiculaires au plan tangent, qui est le même tout le long d'une génératrice, et forment par suite un plan. Le second système de lignes de courbure se compose des trajectoires orthogonales des génératrices, c'est-à-dire des développantes de l'arête de rebroussement. On sait que ces courbes sont déterminées au moyen d'une quadrature (Ch. V, n** 7).

On appelle surface canal l'enveloppe d'une sphère de rayon constant dont le centre décrit une courbe gauche (directrice^, La caractéristique d'une telle sphère est le grand cercle mené perpendiculairement à la directrice. Or tout le long de ce grand cercle la sphère et la surface enveloppe sont tangentes, et leurs normales sont dans le plan du grand cercle. Ainsi, les sections d'une surface canal par les plans normaux de sa directrice sont des lignes de courbure. Pour définir le second système, remarquons que toute normale aune surface canal est normale à la directrice. IIsuit de là qu'w/i<? surface canal est coupée suivant des lignes de courbure par toutes les développables qui ont pour arêtes de rebroussement les développées de sa directrice. On sait que ces développées dépendent d'une quadrature. Quant aux centres de courbure principaux, l'un coïncide avec le centre de la sphère

l6o CHAPITRE y III.

enveloppée, l'autre est sur la droite polaire de la directrice. Donc le lieu des centres de courbure principaux d'une surface canal se compose de la courbe directrice et de sa surf ace polaire. C'est là un cas exceptionnel; car, en général, le lieu des centres de courbure principaux d'une surface se compose de deux surfaces ou de deux nappes d'une même surface {surface des centres de courbure),

12. Déterminons maintenant les lignes de courbure de quelques surfaces d'après leur équation différentielle. Soit en premier lieu le paraboloïde hyperbolique équilatère. On a pour celte surface

az = xy, ap = y, aq = x^ adp = dy, adq = dx.

L'équation différentielle des lignes de courbure

{dx -i-pdz) dq = (^dy -^ q dz) dp

devient, dans le cas présent,

{a^'^y^)dx^= (a* -h x^)dy^.

Elle se décompose en les deux suivantes

dx dy dx dy

ya^-^x^ ya*-{-y^ ya^-hx^ ya^-hy^

qui ont respectivement pour intégrales

x^y^-h a^-^y^x^-h a* = const., x^y^-h a* — y /a?* -h a* = const.

Telles sont les deux familles de cylindres qui découpent sur le paraboloïde les deux systèmes de lignes de courbure. On peut transformer ce résultat. En remplaçant sous les radicaux j^ par az \x et X par az ly, on obtient les deux équations

/a?* -h z* ± v(x' -+- -8* = const.,

qui représentent visiblement toutes les surfaces telles que la somme ou la différence des distances de leurs points aux axes des X et des y soit constante. Donc, les lignes de courbure du paraboloïde équilatère sont sur les surfaces lieux des points dont les distances aux deux génératrices issues du sommet de ce paraboloïde ont une somme ou une différence constante.

LIGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES DE COURBURE. l6l

Passons aux quadriques à centre et considérons, par exemple, l'ellipsoïde

De cette équation on tire

X ~ y ~ z' y^ — b'^ ~ xy ~~ x^ — a^ «^^2^3

Substituant ces expressions dans Féquation générale des lignes de courbure

[pqr — (i -^p^)s] dx^

[{^-^ q^)r — {i-Jr p'^)t]dx dy -^[{i-^- q^)s — pqi]dy^= o

et remplaçant z par sa valeur en x et y y on trouve, tous calculs faits,

b^^xy dx'^ — {b^^x^ — a^aj^^-h a^è^y) dx dy — a'^oLxy dy^= o,

en posant, pour abréger,

a = ^>2— c2, ^ — c^ — a'^, -^^za^—b^.

Pour intégrer Féquation précédente, remarquons que, si un point (^,jk) appartient à la projection d'une ligne de courbure, il en sera de même du point symétrique par rapport à l'origine. Ceci conduit à prendre pour nouvelles variables x^^:^\ el y^^=r\,\{ vient ainsi

b^^T^ ûf?2— (^2 P5 — a2a7) -H a2è2 y) dl dr^ — a^d^ di^^ = o.

C'est une équation où les variables n'entrent plus qu'au premier degré. Résolvant par rapport à vj et appelant vi'la dérivée de y\ par rapport à Ç, nous trouvons

. , a^b^yri'

'^-^'^-^a^oLT^'-^b^^'

équation de Clairaut dont on obtient l'intégrale en remplaçant la dérivée r\' par une constante arbitraire. On a donc

l62 CHAPITRE VIII.

d'où ce théorème, dû à Monge : Les lignes de courbure d^une quadrique à centre se projettent sur V un de ses plans de sy^ métrie suivant deux familles de coniques. Il suit de là que ces lignes sont des intersections de quadriques, résultat qui sera retrouvé et complété au Chapitre suivant..