VI. — Théorème de Joachimsthal ; surfaces de Monge

13. Théorème de Joachimsthal. — Si deux surfaces ont une ligne de courbure commune y elles se coupent sous le même angle en tous les points de cette courbe.

Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un angle constant tout le long d^une courbe et si cette courbe est ligne de courbure pour Vune des surfaces, elle l'est aussi pour Vautre,

Soient (S) et (S') les deux surfaces, (C) la ligne de courbure supposée commune à (S) et à (S'). Les normales MN menées à la surface (S) le long de la ligne de courbure (C) forment une développable; pareillement les normales MN' menées à la surface (S') le long de (C) forment une développable. Les unes et les autres sont normales à la courbe (C). Or on a vu dans la théorie des développées (Ch. V, n® 10) que, quand deux familles de normales à une même courbe (C) forment des développables, les deux normales de chaque famille qui ont même point d'incidence font un angle constant tout le long de (C). Ainsi Tangle des normales aux deux surfaces est le même en tous les points de leur lig:ne de courbure commune.

Supposons maintenant que les normales aux deux surfaces (S) et (S') fassent le même angle 8 tout le long d'une courbe commune (C), supposée ligne de courbure pour (S). Les normales MN menées à la surface (S) le long de (C) forment une développable; faisons tourner chacune d'elles d'un angle 8 autour de la tangente en son point d'incidence M avec la courbe (C), de manière qu'elle vienne coïncider avec la normale à la surface (S'). On sait que dans ces nouvelles positions elles formeront encore une développable. Par suite, la ligne (C) est ligne de courbure pour (S') comme pour (S).

LIGNES ASYMPTOTIQLES ET LIGNES DE COURBURE. ï63

14-. Le théorème de Joachimslhal joue un grand rôle dans la théorie des lignes de courbure, à raison de ce que toute ligne plane est ligne de courbure du plan et toute ligne sphérique ligne de courbure de la sphère. On voit, en effet, que, si un plan ou une sphère coupe une surface suivant une de ses lignes de courbure^ les deux surfaces font un angle constant tout le long de cette ligne. Réciproquement, si un plan ou une sphère coupe une surface sous un angle constant tout le long d^une courbe^ cette courbe est une ligne de courbure pour la surface.

De là résulte un moyen pour déterminer des surfaces admettant une famille de lignes de courbure planes. En effet, d'après ce qui précède, pour qu^une série de sections planes soient lignes de courbure dhine surface, il faut et il suffit que la normale à la surface et la normale au plan de chaque section fassent un angle constant tout le long de cette section. En général, cet angle varie d'une section plane à une autre. Nous allons étudier le cas particulier où il est constamment droit, quelle que soit la ligne de courbure considérée. Proposons-nous la question suivante : Quand un plan (P) se meut en restant normal à une courbe gauche, comment doit varier une courbe, tracée dans ce plan, pour que la surface qu^elle engendre et le plan qui la contient se coupent à angle droit en tous les points de cette courbe?

Considérons le plan (P) dans l'une de ses positions; soit M son point d'incidence sur la courbe (C). Dans le plan (P) traçons une courbe (F) que nous rapporterons à la normale principale MN et à la binormale MB de la courbe gauche (C), prises pour axes mobiles. Si s désigne l'arc de (C) terminé en M, les coordonnées x, jKj z de ce point ne dépendront que de 5, et il en sera de même des cosinus a', ..., y des axes mobiles. Les coordonnées relatives $,, i\^ des points M| de la courbe (F) dépendront d'un paramètre t, et aussi de 5, cette courbe pouvant varier dans son plan pendant qu'il se déplace. D'après cela, les coordonnées absolues ^h-i y\'i ^\ des points M, auront pour expressions

Ces formules représentent la surface (S) que les courbes (F) engendrent et dont elles forment un premier système de lignes de

l64 CHAPITRE TIII.

courbure (s = const.). Le second est constitué parles trajectoires orthogonales des courbes (F) et nous choisirons le paramètre t de telle sorte qu'il soit constant sur chacune de ces trajectoires. Soit M I T< la tangente à Tune des courbes du système t = const. Elle est perpendiculaire, par définition, à la tangente M<S| de la courbe (F); or le plan tangent S|M|T< de la surface (S) est^ par hypothèse, perpendiculaire à (P) tout le long de (F); donc la droite M< T< , perpendiculaire à l'intersection M< S< de ces deux plans, est perpendiculaire au plan (P), ou encore à deux droites MN et MB de ce plan. Pour avoir les coefficients directeurs de la tangente M| T|, différentions les relations (5) par rapport à Sy en tenant compte des formules fondamentales de la théorie des courbes gauches (Ch. V, n° 1). Nous trouvons ainsi

■^ - H H j "^ "^ (,U -^ y) ^ * vif " TJ '

et deux expressions analogues pour les dérivées de y, et z^. La droite M| T< étant perpendiculaire à MB et à MN, on doit avoir

, dxi r,, dvi , dzi

os ^ os * os Ces conditions reviennent aux suivantes

ds '^ T ~ ' ds T - ^•

De là, par le changement de variable do = rf^ : T, on déduit

et, en éliminant ç^,

L'intégrale générale de cette équation linéaire est

7)1 = J sincp -h T] coscp,

LIGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES DE COURBURE. l65

i et 7i désignant deux fonctions arbitraires du paramètre t; différentiée par rapport à o, elle donne

On voit par là que la courbe (F), lieu du point (Ç| , y\^ ), se déduit de la courbe lieu du point (Ç, t^) par une simple rotation d'amplitude égale à <f , effectuée autour de la tangente à la courbe (C), dans le sens de MN vers MB. Or la forme de cette courbe est indépendante de Sj puisque Ç et v^ n'en dépendent pas; donc :

Une courbe (F) étant tracée sur un plan (P), qui se meut en restant normal à une courbe gauche (C)^pour que la surface qu^elle engendre fasse un angle droit avec le plan (P) en tous les points de cette courbe (F)^ il faut et il suffit que (F) ait une forme invariable et que la droite qui joint un point fixe de (F) au point d^ incidence M du plan (P) sur la courbe (G) engendre une surface développable.

Ce théorème, qu'on pourrait établir géométriquement, fait connaître une classe étendue de surfaces (S), déjà rencontrées au Chapitre VI (n® 10), dont une famille de lignes de courbure est évidemment composée des diverses positions de (F). Les coordonnées des points (^i, jKi, zC) de ces surfaces sont représentées par les formules (5) quand on y suppose \\ et 7i< remplacées par leurs expressions

^1= ^(^) coscp — ri{t) sinç, r^j = $(^) sincp H- y](^) coscp.

Or, nous avons vu que, si l'on fixe t, ce qui donne une ligne de courbure du second système, ÇetT^ sont constants; ainsi chacune des lignes de courbure du second système est le lieu que décrit un point déterminé de la courbe (F). Si donc on se donne la courbe directrice (C) et la génératrice plane (F), une fois effectuée la quadrature qui fournit l'angle cp et, par suite, les coordonnées de la surface (S), on connaîtra sans aucune intégration toutes les lignes de courbure de cette surface.

Remarque. — Les surfaces dont nous venons de nous occuper ont été considérées d'abord et étudiées par Monge, qui les caractérisait comme ayant toutes leurs normales tangentes à une même développable. En effet, la normale en un point quelconque

i66 CHAPITRE vni.

d'une telle surface est située dans le plan de la ligne de courbure (r) qui passe en ce point. Or ce plan (P), étant normal à la courbe (C), enveloppe sa surface polaire, qui est une développable. Donc la normale considérée peut être regardée comme étant une tangente à cette développable.

15. Comme cas particulier des surfaces de Monge, on obtient les surfaces moulures quand la courbe (C) est plane. Dans ce cas, la différentielle de y étant nulle, cet angle est constant et peut être supposé nul. De là cette génération des surfaces moulures : Un plan où l'on a tracé deux axes rectangulaires et une courbe (F), se meut en restant normal à une courbe plane (C) de telle façon que Vun des axes qii!il porte coïncide constamment avec la normale principale, Vautre avec la binormale de (C). La courbe (F) engendre une surface moulure.

Ses diverses positions forment un premier système de lignes de courbure. Le second se compose des sections de la surface par les plans parallèles au plan de la courbe (C). En effet, si ^ = o est l'équation de ce plan, les coordonnées de la moulure sont représentées par les formules

et l'on voit que les lignes de courbure qui correspondent à des valeurs constantes de t sont dans des plans Z\ = const. Ces formules montrent, en outre, que les projections des lignes de courbure z^ = const. sont des courbes parallèles à la courbe (C), à la distance ç(^), qui varie de l'une à l'autre. De là une autre généralion des surfaces moulures : Une famille de courbes parallèles étant tracées dans un plan, on donne à chacune d'elles une translation perpendiculaire à ce plan^ et dont la grandeur varie de Vune à Vautre suivant une loi donnée. Le lieu des positions nouvelles de ces courbes est une surface moulure.

Ce qui précède conduit à chercher toutes les surfaces qui admettent pour lignes de courbure d'un système des courbes (F) situées dans des plans parallèles. On peut prouver géométriquement que, si ces plans sont horizontaux, les lignes de courbure du second système sont toutes dans des plans verticaux. En effet, toute ligne de courbure (C, ) de ce système étant perpendiculaire

à toutes les courbes (F), on obtient la tangente MT en un point M de l'une d'elles en faisant tourner d'un angle droit, dans le plan normal à (Cj), la normale MN à la surface. Or, cette normale MN engendre une développable; il en sera donc de même(Ch.V, n**10) de la tangente MT menée le long de (C|) aux diverses sections horizontales (F). Mais ces tangentes, étant toutes horizontales, ne peuvent former d'autre développable qu'un cylindre, circonscrit à la surface le long de (Ci). D'après la réciproque du théorème de Joachimsthal, (C|) sera ligne de courbure et, par suite, section droite du cylindre. Elle sera donc située dans un plan vertical, puisque le cylindre est horizontal. Pour achever la solution, remarquons que les traces de ces divers plans verticaux sur le plan horizontal ont une enveloppe, puisqu'elles forment une famille; par suite, elles sont touties normales à une développante (C) de cette enveloppe. Or, si l'on figure sur le plan horizontal les projections des lignes de courbure (F), elles couperont à angle droit toutes les normales de cette courbe (C), Ce seront donc des courbes parallèles à (C), et la surface, étant susceptible du mode de génération indiqué en dernier lieu, sera une surface moulure.

16. Considérons encore les surfaces de Monge pour lesquelles la courbe (C) est tracée sur une sphère (S). Les lignes de courbure d^un système sont sur des sphères, qui ont même centre O que (S). Soit en effet M, un point fixe d'une courbe (F), dont le plan est normal à (C) en M, et M pi celle des normales à (C) qui est tangente à (S). La distance MM^ est constante, la figure formée par (F) et M étant invariable. Or l'angle M^Mix est constant, puisque MMj engendre une développable (n°14) et qu'il en est de même deM[x(Ch.VI, nMJ, Rem,). Donc la figure OMM^ est invariable, et le lieu de Mj, qui est une ligne de courbure (n*" 14), est sur une sphère ayant pour centre le point O.

l68 CHAPITRE IX.

SECTIONS PRINCIPALES, LIGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES DE COURBURE EN COORDONNÉES CURVILIGNES.

I. — Rayons de courbure des sections normales. Rayons de courbure principaux.

1. La solution des problèmes relatifs aux lignes tracées sur les surfaces étant souvent facilitée par l'emploi de coordonnées curvilignes convenables, nous reprendrons dans ce Chapitre les questions qui font Tobjet des deux précédents, en supposant que les coordonnées rectangulaires x^y^ z des points d'une surface sont exprimées par trois fonctions connues de deux paramètres

Pour calculer le rayon de courbure R d'une section normale, nous partirons de la formule

~ ad^x -f- bd^jr-hcd^z'

établie précédemment (Chap. VII, n** 1). Le numérateur de R est l'élément linéaire (ou première forme fondamentale)

ds^ = Edu''-h^FdudQ-hG rfp*,

que nous avons calculé au Chapitre II (n® 13). Rappelons que nous avons posé en cet endroit

«t obtenu, pour les cosinus de la direction positive de la normale, les valeurs suivantes :

où H représente la racine carrée arithmétique de EG — F^.

Nous pouvons maintenant former le dénominateur de R. A cet effet, différentions les identités telles que dx ^^ x'^j^du -\- x'^ dv \ nous trouverons

d^x = x'u d^ u -\- xl d^ ç -\- x'^i du^ -^ix'uv du dv -+- x'I» dv^

et deux expressions analogues pour d^y et d'^z. En tenant compte des deux identités

cri voit que l'expression différentielle proposée devient

ad^x -\- bd^y '\- cd^z

D dvC^ -t- s>. D^ du dv -h \)''dv^- H

si Ton pose, pour abréger,

D = U{axl^ -^ byl^ -4- cV;»), D'-H(aa7'i,-+-6yi,+ c<,), D"= ll{axl^ -\- by'l^ -\- cz'l^).

Le résultat de ces transformations est la formule cherchée

R E du^ -^ iF du dv -h G di>^ H ~ Ddu^-^iD'dudv-h-D'dv^-

Eu égard aux valeurs trouvées pour a, è, c, les lettres D, D', D'' représentent les développements des trois déterminants ci-dessous :

Xu