X II

X'ii

y uv

fu

yu

On voit que le dénominateur de R est une forme quadratique par rapport aux différentielles rfw, d^ {seconde forme fondamentale). Ses coefficients dépendent des dérivées secondes àex, y^ z, tandis que ceux de l'élément linéaire ne contiennent que les

ino CHAPITRE IX.

dérivées premières. Dans les conditions où nous nous plaçons, l'élément linéaire est toujours positif j le dénominateur de R est une somme de carrés dans les régions où la surface est convexe (puisqu'il doit conserver le même signe, quelque valeur qu'on attribue au rapport du \ d\?)\ une différence de carrés dans les régions où la surface est à courbures opposées; un carré parfait aux points paraboliques. Ces points correspondent donc aux solutions de l'équation DD^' — D'^ =■. o, et forment en général des lignes sur la surface;

2. Cherchons maintenant les rayons de courbure principaux. D'après la formule

R ¥. du^- -^ i¥ du dv -^ G dv^ ^^ H 7 \} du^ ^ iD' du dv -^ D' dv^'

où w et (^ reçoivent des valeurs fixes, R varie avec le rapport du : dv. Il n'y a d'exception que si la fraction (6) est indépendante de du et de d\?^ c'est-à-dire pour les points où l'on a

Ces points, où toutes les sections normales ont même courbure, sont les ombilics. Leurs coordonnées curvilignes étant les solutions de ces deux équations, les ombilics sont généralement en nombre limité. En tout point autre qu'un ombilic, à une valeur donnée de R correspondent, pour le rapport du\dv^ deux valeurs en général différentes. Mais, quand R est maximum ou minimum, ces deux valeurs deviennent égales, d'après une propriété élémentaire des fractions rationnelles du second degré. Si donc nous exprimons que l'équation

(6)' (DR — ¥M)du^-h 2(D'R — FH) du dv -\- (D'^R — GYi)dv^ = o

a pour premier membre un carré parfait, nous aurons V équation aux rayons de courbure principaux

(7) (D'R — FH)2 — (DR — EH)(D''R — GH) = o,

qui, développée, s'écrit

(7)' (DD''— D'2) R2— (GD — iFD' -^ ED") HR h- H* = o.

Elle a ses racines réelles ; car la substitution R = o donne au premier membre du trinôme (7) le signe moins y tandis que les substitutions