II. — Équations différentielles des lignes de courbure
et des lignes asymptotiques.
3. En vue de trouver les directions principales, c'est-à-dire les valeurs du rapport du \ dv qui rendent la fraction (6) maxima ou minima, remplaçons ce rapport par \ et introduisons une variable d'homogénéité [jl. Nous aurons
R EXg-h2FX[A-HG[A2 P (X, tJL) H " DX2 4-'2D'X|JL-HD'>2 ■" Q(X, [Jl)'
Les valeurs cherchées de X sont les racines de l'équation
(8) QPi-PQi = o,
qu'on obtient en différentiant par rapport à X l'expression de R. Mais, comme R est une fonction homogène et du degré zéro en \ et [JL, on a identiquement, d'après un théorème bien connu,
XR5,-i-[jiR;,= o.
Or, R'j^ étant nul, on aura aussi RJj^= o, ou bien
(9) QP'(.-PQ'j.= o.
Des relations (8) et (9) on tire
En égalant les deux derniers rapports, on a, sous une forme facile
à retenir, l'équation qui détermine les directions principales,
Edu-{-F dv F du-^Gdv ^'^^ Ddu-hD'dv ■" D'du-^D'dv'
Si l'on chasse les dénominateurs, cette équation devient
(II)' (FD'— GD') dv^—(GD — ED'') du dv -h (ED'— FD) rfa« = o.
C'est aussi Véquation différentielle des lignes de courbure, quand on y considère u ei v comme variables. On a vu, en effet, que les lignes de courbure sont tangentes en chacun de leurs points à l'une des directions principales de la surface. Le rapport du \ d{> a donc pour ces lignes la même valeur que pour les directions principales. Remarquons que l'équation (i 1), ne déterminant plus le rapport du \ dv quand le point (w, s?) est un ombilic, n'apprend rien sur les lignes de courbure en un tel point.
D'après les relations (10), la valeur commune des rapports (11) n'est autre chose que Ri H, En écrivant cette double égalité, ce
qui donne
(DR — EH)rfM-4-(D'R-FH)é/t^ = o,
(D'R-FH)é/t^ H-(D"R— GH)c?p = o,
et éliminant du \ dv entre ces deux relations, on retrouverait l'équation aux rajons de courbure principaux (7).
4. Si, au lieu de chercher les maxima et minima de R, on veut déterminer les directions asymptotiques delà surface, c'est-à-dire les valeurs de du \ dv pour lesquelles le rayon de courbure de la section normale est infini, il n'y a qu'à annuler le dénominateur de la formule (6); on trouve ainsi
(12) D du^ j\- iiy' du dç ->r T)" dv^ = o.
Cette équation, quand on y considère u et v comme variables, est Inéquation différentielle des lignes asymptotiques, puisque ces lignes sont, par définition, tangentes en chacun de leurs points à l'une des asymptotes de l'indicatrice.
On peut arriver à cette équation, sans supposer les coordonnées rectangulaires, en établissant entre u el v une relation telle que le plan osculateur en chaque point de la courbe ainsi obtenue
soit tangent en ce point à la surface (Ch.VIII, n°5). Le plan tangent en un point (^,JK) ^) de la surface a pour équation
A(X — a?)-^B(Y— 7)-4-G(Z — ^)=:o, les coefficients A, B, C vérifiant les conditions
Pour que ce plan soit osculateur à la courbe lieu du point (^, JK? ^)
il faut et il suffit (Ch. VI, n° 6) que A, B, C satisfassent aux deux
relations
Adx -i-Bdy -\-Cdz = o,
Ad^x-hBd^y-{- Cd^z = o.
La première est vérifiée en vertu des conditions (i3).La seconde,
SA (x't^ d^u-hx[,d^v -h 0:^2 du^ -h 2 x'^ç, du dv -+- x'I^ dv^ ) = o, se réduit, en vertu des conditions (ï3), à (i4) liA^xl^du^-h ix'ui, du dv -h xl^dv^) = o.
Éliminons A, B et C entre les équations (i3) et (Ji4)- U vient
x^idu^ -+• ■2x'|^^,du dv + d'^^dv^ x'jj^ a?^ y'i^du'^-^iy'i^dudv-\-y"^2dv'^ yi y'^ =0, z'i^ du'^ H- iz"^^ du dv -+- z^^ dv^ z'^, z'^,
ce qui n'est autre chose que
D<iw2-4-aD'G?M<ip-4-DVp2= o,
à raison de la signification attribuée précédemment (n® 1) aux lettres D, D', D^
III* — Lignes de courbure et asymptotiques de certaines surfaces.
5. Hélicoïdes, — On appelle Aé/tcoi'rfe toute surface engendrée par une courbe de forme invariable qui tourne autour d'une droite fixe, en même temps qu'elle se déplace parallèlement à cet axe de longueurs proportionnelles aux angles dont elle tourne.
Il est visible que si cette translation est nulle, l'hélicoïde dégénère en une surface de révolution.
Tous les points de la courbe génératrice décrivant des hélices circulaires dont l'axe commun est celui de la surface et dont le pas est le même, on peut considérer un hélicoïde comme engendré par la courbe (appelée jd/'o/î/) suivant laquelle il est coupé par un plan contenant son axe. Prenons pour axe de rhélicoïde Taxe des z, Soit5 = ?p(w) l'équation du profil dans son plan, u désignant la distance d'un point à l'axe; soit ç Tangle que fait le plan du profil avec celui des zx. Soit enfin h la translation du profil pour une rotation égale à l'unité d'angle. Les coordonnées des points de la surface seront représentées par les formules
(i5) X = ucos{>, y = usïnv, -s = çp(w) -h Ap,
d'où l'on déduit, par des calculs simples,
<p' et çp" étant les dérivées première et seconde de o{u). Il faut remarquer que les six fonctions ci-dessus ne dépendent que de u. Il en est donc de même des coefficients de l'équation aux rajons de courbure principaux; par suite ces rayons sont des fonctions de la seule variable u. Ainsi, les hélicoïdes appartiennent à la classe des surfaces dont les rayons de courbure principaux sont fonctions Vun de Vautre,
En vertu de la même remarque, les coefficients des équations différentielles des asymptotiques et des lignes de courbure seront des fonctions de u seulement. Chacune de ces équations donnera donc pour d\? \ du deux fonctions de w. En conséquence, les lignes asymptotiques et les lignes de courbure des hélicoïdes sont déterminées par des quadratures.
Dans le cas particulier des surfaces de révolution, h étant nul, F et D' sont nuls. L'équation des lignes de courbure se réduit à du di> = o. Elle donne u = const. et v = const., c'est-à-dire les parallèles et les méridiens, résultat déjà trouvé (Ch. VIII, n**ll). Quant aux asymptotiques, leurs équations sont respectivement
const.
, fi/^:Xj^ du = const., . -i- fi/^^\ du =
J y urf'{u) J y u^(u)
On voit que leur détermination n'exige qu'une quadrature.
SURFACES EN COORDONNÉES CURVILIGNES. lyS
6» Surfaces spirales. — Considérons une surface de révolution
A chaque méridien v = consl. substituons son homothétique par rapport à un point fixe de l'axe, pris pour origine, le rapport d'homothétie étant e^^. Nous obtiendrons une sur fa.ce spirale. Ses coordonnées auront pour expressions
{i6) ce = ue^*' cosi^f y = ue^*'sinVj z — (^{u)e^^.
On peut dire qu'une spirale est une surface engendrée par une courbe plane qui tourne autour d'une droite de son plan, en restant homothétique à elle-même par rapport à un point fixe de cette droite, et dont les dimensions croissent en progression géométrique quand les angles dont tourne son plan croissent en progression arithmétique. Dans Thypothèse « = o, la spirale se réduit à une surface de révolution. On trouve facilement dans le cas général
E = e2«^(i-+-<p'2), F = ae2«*'(9cp'-T- w), G^ e'^^^la^^^-^- {i-^ a^)u^'],
cp' et ^" étant les dérivées première et seconde de ç(w). Il suit de là que les coefficients des équations dififérentielles des asymptotiques et des lignes de courbure deviennent, par la suppression d'un facteur exponentiel, des fonctions de la seule variable u. En conséquence, les lignes asymp touques et les lignes de courbure des spirales sont déterminées par des quadratures.
7. Remarque. — On aurait pu, avant tout calcul, prouver que les deux familles d'asjmptotiques et de lignes de courbure, tant des spirales que des hélicoïdes, sont représentées par des équations finies de la forme
