V -^ ^(^u) — const

ce qui montre que leurs équations diftérentielles sont intégrables par quadratures.

Considérons, en effet, sur un hélicoïde (H) représenté parles équations (i5), deux courbes (C) et (Cq) définies respectivement par les équations

(17) ç=z\]{u), Ç' = U(m) — Po,

OÙ ^0 est une constante arbitraire. Les coordonnées de (G) auront pour expressions

5 = acosU, 7) = MsinU, Ç = cp(a) -h AU.

Celles de (Co) se déduiraient des précédentes par le changement de U en U — i^c Cela posé, donnons à la figure (H, Gq), formée par l'hélicoïde (H) et la courbe (Go), le déplacement qui résulte d'une rotation, d'amplitude i>oj autour de O^, et d'une translation hvo parallèle à cet axe. A la suite de ce déplacement, Thélicoïde vient coïncider avec sa position primitive (H), et les nouvelles coordonnées ^^,r\^^ Çi de la courbe (Go) deviennent respectivement identiques à Ç, 7|, ^. Ainsi la figure (H, Gq) est superposable à la figure (H, G). Si donc (G) est ligne de courbure ou asymptotique de (H), il en est de même de (Gq), ce qui justifie notre assertion.

Considérons pareillement, sur la spirale (S) représentée par les équations (16), deux courbes (G) et (Gq) déterminées respectivement par les équations (17). Les coordonnées de (G) auront pour expressions

Ç = Me«UcosU, T] = we«UsinU, Ç = <p(a)c«'^.

Celles de (C©) se déduiraient des précédentes par le changement de U en U — ^o- Cela étant, faisons tourner de l'angle ç>o autour de O^ la figure (S, Go), formée par la surface (S) et la courbe (Go). Les équations qui représentent (S) et (Gq) dans leurs nouvelles positions (S«) et (G|) sont respectivement les suivantes :

Xi Y\ Zi

Ainsi la figure (S|, C«) et la figure (S, G) sont homothétiques par rapport à l'origine. Si donc (G) est asymptotique ou ligne de courbure de (S), la courbe (Cj) l'est aussi pour(S«), ce qui prouve bien que (Gq) est asymptotique ou ligne de courbure de (S), comme nous l'avions annoncé.

8. Autres exemples. — Toute surface peut être regardée comme l'enveloppe des cylindres qui lui sont circonscrits et qui ont leurs génératrices parallèles à toutes les droites d'un même plan (^ = o). Elle est donc représentée par les équations

(18) ^-^^y=/{^,^), y=fl^

dont la première est celle d'un des cylindres considérés et dont la seconde résulte de la première par différentiation (Gh. III, n°15). Cherchons les asymptotiques de la surface ainsi définie, en formant l'équation

dp dx -\- dq dy = o.

Des équations (i8) on déduit

dz =^ f'xdx -h y dv — d{vy) =fxdx — vdy,

d'où, par comparaison avec p dx -{- q dy^ on conclut

Dès lors on a identiquement

dp dx -\- dq dy =: {fx^ dx -\-fxv dv) dx — (/i(, dx H- /Ja dç) dv, L'équalion différentielle des asymptotiques est donc

Cette équation rentre dans le type

çp(^) dx^ — 4'(^) dv^ = o,

et, conséquemment, s'intègre par quadratures, quand la fonction/* admet, entre autres formes, l'une des deux suivantes

/=X(a?)V(p), f = {mv -^ n)X{x) -^ {m! X -^ n')\{i>),

les deux fonctions X et V étant arbitraires, ainsi que les quatre constantes m, /i, m\ n. On vérifiera sans peine cette propriété des deux classes de surfaces correspondantes : Les courbes de contact des cylindres circonscrits parallèlement à un plan Jixe {x = o) sont des courbes planes dont les plans passent par une droite fixe.