IV. — Directions conjuguées et réseaux conjugués
9. Cherchons la condition nécessaire et suffisante pour que deux directions {du^dv) et (8a, hv) soient conjuguées. Posons
l =■- y'u^v-- ^uXu, rn = z'^x^~- z'^x'^,, n = x'^y^—f^x
Le plan tangent en un point de la surface a pour équation
(19) Z(X — a?)-hm(Y — y) -^ n{Z — z) = o.
Si nous le supposons mené le long d'une courbe dont la tangente a en chaque point la direction (rfw, dv), sa caractéristique sera représentée par l'équation précédente, jointe à sa différentielle
(20) 2(X-^)(|^rf«+^«fi')=o,
que nous avons simplifiée en tenant compte des identités
(21) 2/a7'„=o, Iilx'^,=^ o.
D'autre part, les coefficients directeurs de la direction (8a, 8^») ont pour valeurs
, V àx ^ dx ^ dy <s ày ^ dz ^ ôz ^
^ ' du di> ou oi> ou oç
Nous avons à exprimer que les binômes X — x, Y — y^ Z — s, tirés des équations de la caractéristique, sont proportionnels à ces coefficients. Portons donc les valeurs (22) à la place de X — x, Y — y^ Z — z dans les équations (19) et (20). La première est vérifiée en vertu des identités (21); la seconde donne
( o = I,(Xu^u-\- xl^i>)(l'udu-h ri,dif)
] = du ^uléX'ul'u-h du^i>I.xll'i^-\- di>^ul, x'u, /J, -^dv^vl, x[^ l^.
Mais, si l'on tient compte des identités (21) et des formules (5) qui définissent D, D', D'', on trouve
— 'Zx'^,l'u= "^1x1^= D', —20?;/; = ^Ix'l^ = D'.
La relation (20)' devient alors
(23) Ddu^u-\- T)'{du Sp -+- di> 8m) -h DVp 8(^ = o.
Telle est la condition nécessaire et suffisante pour que les directions (â?M, dç) et (8m, hv) soient conjuguées. Notre raisonnement ne suppose nullement que les coordonnées ^, j^, z soient rectangulaires. Nous pourrons donc obtenir en axes obliques l'équation différentielle des lignes asymptotiques, en exprimant que la direction (du, dv) de chacune d'elles est sa propre conjuguée. La condition (23) doit alors être vérifiée par 8w = rfw, 8(^ = û?ç>, ce qui nous donne d'une autre manière encore l'équation
Ddu'^-ir-1 D' du dv -V D'^t^pî = o.
10. Ce qui précède fournit un moyen simple de reconnaître si les lignes coordonnées u = const. et i^ = const. forment un réseau conjugué. En effet, la condition générale (28) devant être vérifiée par du = o et 8ç^ = o, il reste D'= o. Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que le réseau (m, v) soit conjugué est
yl.
résultat important qui nous Servira dans la suite.
En voici une démonstration directe. Soit (C) l'une des courbes coordonnées u = const. En chacun de ses points la direction conjuguée de sa tangente est, par hypothèse, la tangente à la courbe coordonnée i^ = const. qui passe en ce point. Cette tangente, qui a pour équation
doit engendrer une développable. C'est la condition nécessaire et suffisante pour que le réseau (w, v) soit conjugué. En exprimant que la droite (24) engendre une développable, au moyen de l'équation générale trouvée dans la théorie des enveloppes (Ch. III, n° 12), on trouve précisément ici D'= o.
De là résulte une conséquence importante. Le déterminant D' étant nul, il existe, comme on sait, une même relation linéaire et
l8o CHAPITRE IX.
homogène entre les éléments de ses trois colonnes. En d'autres^ termes, pour que les courbes coordonnées M = consl., (^ = const. forment un réseau conjugué, il faut et il suffit que les trois coordonnées x^ y^ z de cette surface, considérées comme fonctions de u et de i^, soient trois solutions d^une équation aux dérivées partielles du second ordre
dudv du dv
Cette proposition permet de définir des surfaces sur lesquelles les courbes coordonnées forment un réseau conjugué. Nous donnerons comme exemple celles que fournit Féqualion 6^^:=o. Par deux intégrations successives on déduit de cette équation
en désignant par U et V deux fonctions arbitraires Tune de m, l'autre de v. Si donc nous posons
a: = Ui4- V„ y = U,-i- V2, z = Ua-f- V,,
les U représentant des fonctions quelconques de u, et les V de ç?, nous aurons une classe de surfaces sur lesquelles les courbes coordonnées w = const., i^ = const. formeront un réseau conjugué. Ces surfaces ont reçu le nom de surfaces de translation, à raison de la propriété suivante. Chacune d'elles est engendrée par une courbe de forme invariable
qui se déplace parallèlement à elle-même, de telle façon que l'un de ses points décrive la courbe fixe qui a pour équations
On peut considérer aussi ces surfaces comme le lieu des milieux des cordes qui joignent un point quelconque de la courbe
à un point quelconque de la courbe
a:4=2Vi, y4=2V2, Z4=2V3.
SURFACES EN COORDONNÉES CURVILIGNES. l8l
Remarque /. — Quand une surface est rapportée à un réseau conjugué, l'équation différentielle de ses lignes asymptotiques ne contient pas de terme en dudç, et réciproquement. Ainsi l'équation différentielle du n** 8 ne contient pas de terme en diidv, parce que le réseau a; = const., ç' = const. est un réseau conjugué, limite de celui qui a été défini au Chapitre VIII (n® 3).
Remarque IL — La propriété des lignes de courbure de former le seul réseau conjugué orthogonal qui existe sur une surface ^Ch. VIII, n** 9) se vérifie aisément au moyen des équations établies dans le présent Chapitre. En effet, si le réseau u = const., V = const. est orthogonal, on aura F== o; si de plus il est conjugué, on aura D'= o. Mais, dans cette double hypothèse, l'équation (il) des lignes de courbure se réduit à du dv=zo^ ce qui prouve que ces lignes se confondent avec les courbes coordonnées.
A cette propriété, qui joue un grand rôle dans la théorie des lignes de courbure, nous rattacherons d'abord le théorème de Dupin, puis la détermination des surfaces de Joachimsthal.
