V. — Théorème de Dupin et applications

H. Définition, — Trois familles de surfaces dont les équations renferment chacune un paramètre variable

sont dites former un système triple orthogonal, si deux quelconques de ces surfaces, prises dans deux familles différentes, se coupent à angle droit, c'est-à-dire ont leurs plans tangents rectangulaires, tout le long d'une courbe commune.

Cette propriété peut s'énoncer ainsi : les plans tangents aux trois surfaces, une de chaque famille, qui passent en un point quelconque de l'espace, forment un trièdre trirectangle ; ou encore : les tangentes aux intersections mutuelles des trois surfaces 50nt rectangulaires deux à deux.

A titre d'exemple, considérons : i° la famille des plans qui passent par une droite ; a® la famille des cônes qui sont de révolution autour de cette droite et qui ont leurs sommets au même

point; 3** la famille des sphères qui ont ce point pour centre - Il est bien connu que deux de ces surfaces, appartenant à deux familles différentes, se coupent à angle droit en tous leurs points d'intersection. Les trois familles considérées forment donc un système triple orthogonal, qui est le système des coordonnées polaires de l'espace.

En second lieu, considérons encore : i® la famille des plans qui passent par une droite ; 2** la famille des cylindres qui sont de révolution autour de cette droite; 3® la famille des plans qui lui sont perpendiculaires. Ces trois familles de surfaces forment un autre système triple orthogonal, qui est le système des coordonnées semi-polaires ou cylindriques.

Enfin, il est à peine besoin de rappeler le système des coordonnées cartésiennes rectangulaires .

Théorème. — Toute surface fait partie d^un système triple orthogonal.

Considérons une surface quelconque (S) ; en chaque point M(^x,y^ z) de cette surface, portons sur sa normale, toujours du même côté du plan tangent, un segment MM« de longueur constante /. La surface (84), lieu des points Mj ainsi obtenus, est dite parallèle à la surface (S) : on exprime par là que les plans tangents aux deux surfaces aux points correspondants M et M« sont parallèles. Cette propriété résulte immédiatement d'un fait général facile à vérifier :

Si un segment rectiligne, dont les extrémités M et M< décrivent deux courbes (C) et (C«), reste perpendiculaire à (C) et conserve une longueur invariable, il reste aussi perpendiculaire à (Cj ) ; réciproquement, s'il reste perpendiculaire à (C) et à (C|), sa longueur demeure constante.

Aux diverses longueurs / qu'on peut porter sur les normales à la surface (S) correspondent une famille de surfaces, parallèles à (S) et dont celle-ci fait évidemment partie.

Considérons maintenant les lignes de courbure de la surface (S). D'après la définition de ces lignes, les normales menées le long de chacune d'elles forment une développable {normalie développable) dont toutes les génératrices sont visiblement normales à

SURFACES EN COORDONNÉES CURVILIGNES. l83

toutes les surfaces parallèles à (S). Or les deux systèmes de lignes de courbure de (S) donnent lieu à deux familles de normalies développables. Je dis que deux quelconques de ces développables, (S) et (S'), appartenant à deux familles différentes, se coupent à angle droit tout le long d'une génératrice commune. Soient, en effet, (C) et (G) les deux lignes de courbure de (S) qui déterminent les normalies (S) et (S'); elles se coupent en un point M; la normale à (S) en M appartient aux deux développables (S) et (S'), et leurs plans tangents, étant rectangulaires en M, le sont tout le long de cette normale. Il est établi par là que les sur/aces parallèles à une surface donnée et ses deux familles de normalies dé\?eloppables forment un système triple orthogonal.

Remarque. — Les normalies développables des deux familles coupent toutes les surfaces parallèles à (S) suivant leurs lignes de courbure; et elles se coupent mutuellement suivant des génératrices, qui sont des lignes de courbure pour chacune d'elles. On vérifie immédiatement sur les exemples antérieurs cette propriété des surfaces d'un svstème triple orthogonal, de se couper deux à deux suivant leurs lignes de courbure. C'est cette propriété que nous allons généraliser.

12. Théorème de Dupin, — Les surf aces d' un système triple orthogonal se coupent suivant leurs lignes de courbure.

Exprimons l'orthogonalité des surfaces considérées en supposant x^ y^ z tirés des équations (26)

Ces formules, quand on y donne à deux des paramètres des valeurs constantes, par exemple m = Wo, v = i^o, représentent la courbe d'intersection des deux surfaces f=Uo, cpr^t^oî le long de cette courbe iv varie seul. Les coefficients directeurs de la tangente à cette courbe sont donc x'^^ y^^ z^. De la même manière les tangentes aux intersections d'une surface (^ = ç'q avec une surface çv = (^Oî et de celle-ci avec une surface Uq ont pour coefficients directeurs, l'une ^'„, j^'„, .s^, l'autre x'^,J y'^^ z\.

On aura donc les trois conditions d'orthogonalité

(26) ^x^x\^r=zo^ 2ic'„jc^=o, Sa?;,^?' =0,

l84 CHAPITRE IX.

OÙ les sommations s'étendent aux trois coordonnées. Comme les valeurs Uq, Çqj iVo sont absolument quelconques, ce sont là trois identités, qui ont lieu quelles que soient les valeurs attribuées à w, (?, iv. En conséquence, nous pourrons différentier ces équations par rapport à Tun quelconque de ces trois paramètres; et, si nous prouvons que les lignes u = const. et les lignes i> = const., tracées sur toute surface w:={Vo, forment un réseau conjugué, nous aurons établi le théorème annoncé, puisque chaque surface d'une famille sera coupée suivant des courbes orthogonales et conjuguées, c'est-à-dire suivant ses lignes de courbure, par les surfaces des deux autres familles.

Or, pour que le réseau (m, r) des lignes coordonnées soit conjugué sur toute surface «'= Wq, il faut et il suffit (n** 10) qu'on ait identiquement

Juv

fa

Différentions les équations ( 26) respectivement par rapport à i^, ^p et M. Il viendra

Ajoutons les deux sommes extrêmes et retranchons la somme intermédiaire; nous trouvons

Cette identité, rapprochée des deux identités extrêmes (26), entraîne, par élimination de x'^^ y^^ z'^^ l'évanouissement du déterminant D', ce qui démontre le théorème de Dupin.

D'après cette importante proposition, la connaissance d'un système triple orthogonal entraîne la connaissance des lignes de courbure d'une triple infinité de surfaces.

13 Applications, — Pour déterminer les lignes de courbure d'une quadrique à centre, considérons les quadriques homofocales représentées par l'équation

a2-4-X b^-^l cî-H

SURFACES EN COORDONNÉES CURVILIGNES. l85

-qu'il conviendrait de remplacer par les trois équations

a^-hw b^-hw c^-\-w Soit «2;^ ft2^ ^2 5i l^Qn g^ppQge

les surfaces de la famille {u) sont des ellipsoïdes, les surfaces (^v) des hyperboloïdes à une nappe, les surfaces (çv) des hjperboloïdes à deux nappes. On sait que, par tout point de l'espace, il passe unequadrique de chaque famille. Ces quadriques sont d'ailleurs orthogonales en tous leurs points communs; car il suffit de retrancher, par exemple, les équations {u) et ((^) pour trouver la relation

qui exprime que les normales aux deux quadriques (u) et ((^), sont rectangulaires. En conséquence, toute quadrique à centre est coupée suivant ses lignes de courbure par les quadriques homofocales des deux familles autres que la sienne.

Pour avoir les lignes de courbure des paraboloïdes, considérons les paraboloïdes homofocaux représentés par l'équation

Soit/? >> q\ pour X = m ^> — S'? on a une famille de paraboloïdes elliptiques qui tournent leur concavité vers les a: positifs; pour 7v = (;, compris entre — q et — /?, des paraboloïdes hyperboliques ; pour X = fv << — /?, des paraboloïdes elliptiques tournant leur concavité vers les x négatifs. On vérifie comme précédemment que deux surfaces de famille différente se coupent partout à angle droit. Il en résulte que tout paraboloïde est coupé suivant ses lignes de courbure par les paraboloïdes homofocaux des deux familles autres que la sienne.

l86 CHAPITRE IX.

Comme autre exemple, reprenons les trois familles de surfaces

(2) ^ = const., /iF2 -h ^2 :t y/^î ^ ^ï = const.

déjà considérées au Chapitre VIII (n° 12). Nous savons que toute surface de la première famille est coupée suivant ses lignes de courbure par les surfaces des deux autres familles. On vérifie aisément que deux surfaces de famille différente se coupent partout à angle droit. En conséquence, les surfaces (2) forment un système triple orthogonal et se coupent deux à deux suivant leurs lignes de courbure.

14. Le théorème de Dupin a des conséquences d'une nature un peu différente. C'est ainsi qu'il permet, étant donnée une surface dont on connaît les lignes de courbure, d'en déduire une infinité d'autres dont les lignes de courbure seront connues d'avance, grâce à la proposition suivante :

Théorème. — Toute transformation qui conserve les angles conserve les lignes de courbure.

On dit qu'une transformation géométrique conserve les angles, ou qu'elle est isogonale, quand, à tout angle d'une figure, elle fait correspondre un angle égal dans la figure transformée. Tel est le cas du déplacement dans l'espace, de la symétrie, de la similitude, de la transformation par rayons vecteurs réciproques.

Nous allons prouver que, dans toute transformation isogonale, la transformée d'une surface a pour lignes de courbure les transformées des lignes de courbure de cette surface. Associons, en effet, à la surface proposée (S) toutes les surfaces qui lui sont parallèles et ses deux familles de normalies développables. Au système triple orthogonal ainsi constitué (n° H) toute transformation isogonale fait correspondre un autre système triple orthogonal, puisqu'elle n'altère pas les angles. En vertu du théorème de Dupin, la transformée de la surface (S) sera coupée suivant ses lignes de courbure par les transformées des deux familles de normalies développables. Ces lignes sont donc connues.