VI. — Surfaces de Joachimsthal

15. Proposons-nous de déterminer toutes les surfaces admettant pour lignes de courbure d'un système des courbes planes dont les plans passent par une droite fixe. Nous ferons usage, à cet effet, d'un système de coordonnées curvilignes qui peut servir dans d'autres cas, et qui dérive d'une proposition établie antérieurement (Chap. VIII, n° 3) : Les sections faites dans une surface par des plans contenant une droite fixe et les courbes de contact des cônes circonscrits ayant leurs sommets sur cette droite forment un réseau conjugué. Pour rapporter une surface aux courbes d'un tel réseau, il suffit de la considérer comme l'enveloppe des cônes circonscrits

qui ont leurs sommets sur l'axe Oz. Posons

^=u, — -=cp(a,P);

la surface sera définie par ces deux équations, jointes à l'équation dérivée

On a donc, en résolvant ce système,

Pour caractériser les surfaces cherchées, il nous suffira d'exprimer que le réseau conjugué (w, ^) est orthogonal, puisque le seul réseau conjugué orthogonal qui existe sur une surface est formé de ses lignes de courbure. Posant comme toujours

F = x'^x'^, -^y'uy'u -h z'^z'^,, nous trouvons ici

l88 CHAPITRE IX.

Nous devons égaler F à zéro. 11 n'y a pas Heu d'admettre la solution ^*, = o, car o étant alors une fonction linéaire de (^, les formules (aj) donnent, pour ;r, y et z, trois fonctions de la seule variable u; la surface se réduirait à une courbe. Soit donc

<pL u -+- y?;.

<p'^ 1 -h M* -H CP«

Les deux membres de cette équation étant des dérivées logarithmiques, on en lire successivement

v'«(i-+-Mî-+-^«) = cp;,«, v =

en désignant par V une fonction arbitraire de v. Effectuons la quadrature indiquée, ce qui introduit une fonction arbitraire U de u ; nous aurons

(28) Cp = /l-H U^

gV-U __ gU-V

Soient Sho) et Chu (Ch. III, n^ i) les sinus et cosinus hyperbo ligues de w. A cause de la relation (28), les formules (27) deviennent

, , r -i Sh(V-U)

u ^j^u^YCh(y—l]) VGh(V— U)

Les surfaces de Joachimslhal sont ainsi déterminées. On voit que leurs lignes de courbure du second système (v = const.) sont tracées sur des sphères

Si l'on pose r = ^x^-\-y^, une ligne de courbure u = consl. sera définie, dans son plan, par les deux équations

(^^) * ^= V-Ch(V-U) ^ ;5 = P-rSh(V-U),

qui représentent, quand u varie ainsi que v, tous les points du plan z Or. Les lignes p = const. constituent l'ensemble des cercles qui ont leurs centres sur Oz,

puisque la fonction V reste arbitraire. Les lignes u = const. sont leurs trajectoires orthogonales : en effet, le coefficient angulaire de la normale à l'un des cei*cles considérés est

lzJ^^Sh(V-U),

et celui de la tangente à la courbe u '= const., qui a pour valeur

zl i rrGh(V — U)-r;Sh(V — U) , -7 — 5 >

est égal au précédent, en vertu des formules (3o).

Cela posé, les équations (29) représentent toutes les courbes (3o), amenées par rotation autour de O^ dans les divers plans ^=: uœ. Or, on peut considérer U comme un paramètre variable; alors u devient une fonction arbitraire de U; d'où la génération suivante des surfaces de Joachimsthal :

Dans un plan zOx^ on considère une famille quelconque de cercles ayant leurs centres sur Oz^ ainsi que leurs trajectoires orthogonales. On fait tourner chacune de ces trajectoires autour de O^, d'un angle qui varie d'après une loi arbitrairement choisie, quand on passe de l'une à l'autre; le lieu de ces diverses courbes ainsi déplacées est une surface de Joachimsthal,

Ce résultat serait facile à déduire, par un raisonnement géométrique, de la proposition qui nous a servi de point de départ. Mais notre méthode nous a donné, de plus, l'expression analytique des coordonnées des surfaces cherchées. Remarquons aussi qu'en obtenant les formules (3o), nous avons retrouvé la solution de ce problème : Déterminer dans le plan les trajectoires orthogonales d'une famille quelconque de cercles ayant leurs centres en ligne droite, que nous avions traité précédemment '(Chap. m, nM).

igo CHAPITRE X.