II. — Tangentes et normales

2. Des définitions que nous avons données au début du premier Chapitre (n**^ 1 et 3), il résulte que la droite qui joint un point simple M d^une courbe plane ou gauche (C) à un point voisin M', pris sur cette courbe, tend vers une position limite, bien déterminée, quand M! tend vers M. Soient en effet (x,jKj z) les coordonnées de M et A^, Aj^, A<3 les accroissements qu'elles éprouvent entre M et M'. Les coefficients directeurs de la corde MM' étant proportionnels à ces accroissements, on peut les exprimer parles rapports de A^, t^y et Az à Aw, en désignant par Am Taccroissement qu'éprouve entre M et M' le paramètre dont dépendent les coordonnées de la courbe (C). Or, d'après nos hypothèses, quand M' tend vers M, Am tend vers zéro, et les rapports précédents tendent vers des valeurs parfaitement déterminées, qui sont les valeurs des dérivées x\ y^ z' de x, y, z par rapport à w au point considéré M. Ainsi, la corde MM' tend vers une position limite, celle de la droite que représentent les équations

C'est, par définition, la tangente en M à la courbe (C).

Si l'ensemble des points de la courbe (G), qui avoisinent Je point M, est représenté par plusieurs systèmes de développements (Ch. I, n*** 1 et 3), plusieurs branches de la courbe se croisent en ce point, qui est appelé point multiple; l'un de ces systèmes de développements donnera, pour les accroissements qu'éprouvent les coordonnées entre M et un point voisin M',

Si les trois exposants/?, q^ r sont égaux entre eux, la corde MM',

qui a pour équations

Lx ày àz

tendra vers la droite

X — x __ Y— y ^ ?ZLf .

abc R. 2

l8 CHAPITRE II.

Si deux des exposants sont égaux et moindres que le troisième, /? = gr <; r, la corde MM'

tend vers la droite

Si l'un des exposants est moindre que les deux autres, r<ip^ r <; ^r, la corde MM'

X — 37 __ Y — jr ^Z — Z

a^uP-''-\-.,. " bLu^-f-\-.,, ~~ c -+-...

tend vers la droite X — ^ = o, Y — y = o. Dans tous les cas, les branches de courbe représentées par chaque système de développements ont une même tangente bien déterminée. Ainsi toute courbe admet une tangente ou un certain nombre de tangentes en chacun de ses points, 11 n'y a d'exception que pour les points où les fonctions qui représentent la courbe cessent d'avoir des dérivées. Tel est, par exemple, le cas de l'origine pour la courbe

car le coefficient angulaire y\x de la corde qui joint l'origine au point {x^ y) ne tend vers aucune limite déterminée quand x tend vers zéro.

Pour une courbe plane située dans le plan des xy^ la tangente au point {x, y) est représentée par l'équation

X^x Y— jK

De cette équation générale, on déduit celles qui conviennent, soit au cas où la courbe est définie par une équation cartésienne ¥{x^y) = o, savoir

(2) (X-^)Fi+(Y-^)F^=o,

soit au cas où elle est rapportée à des coordonnées polaires r, 9.

Il suffit, en effet, de partir des formules de transformation

X = rcos6, Y = rsin6, et d 3 considérer r comme une fonction de 8 pour trouver

(3) i = lcos(0-6o)4.(iy5in(6-0o).

Telle est l'équation de la tangente au point de coordonnées Tq et Oq.

De l'équation (2), on conclut que, quand une courbe représentée par une équation de la forme F = o passe à l'origine des coordonnées, on obtient le système de ses tangentes à V origine en égalant à zéro V ensemble des termes de moindre degré de l'équation, la fonction F étant supposée développée suivant les puissances entières de x et dey.

Toute droite menée en un point M d'une courbe, perpendiculairement à sa tangente, est dite normale à cette courbe en M. Il est évident que les normales en un point simple d'une courbe forment un plan ; c'est le plan normal, qui, en coordonnées rectangulaires, a pour équation

Quand on étudie une courbe plane isolée, on entend par normale à cette courbe celle des normales qui est dans le plan de la courbe. Son équation est

Elle exprime visiblement que la distance d'un point quelconque (X, Y) d'une normale à son point d'incidence (x, y) est un maximum ou un minimum pour la distance de ce point aux divers points de la courbe. En coordonnées polaires, cette équation devient

(6) i; = i- cos(0 0o) + -i sinCe - 60).

Certains segments rectilignes, qui sont liés aux tangentes et aux normales des courbes planes, se présentent naturellement dans la théorie de ces courbes. Voici leurs définitions, ainsi que leurs expressions, faciles à déduire des équations (2), (3), (5) et (6).

Eu coordonnées cartésiennes, la tangente MTet la normale MN en un point M (a:, y) sont les portions de tangente et de normale comprises entre ce point et l'axe des x\ on a, au signe près,

MT = ^, v/jTh^'î, MN = 7 /i-f-y*;

la sous-tangente S^ et la sous-normale S^ en un point M sont les projections, faites sur Taxe des x^ des segments qui vont l'un de T en M, l'autre de N en M; on a, en grandeur et signe,

Dans ces formules, comme dans les précédentes, j^' désigne la dérivée de y par rapport à a:; les coordonnées sont supposées rectangulaires. On voit que toute courbe dont la sous-normale est constante est une parabole; carie carré de son ordonnée est une fonction linéaire de l'abscisse.

En coordonnées polaires, la sous-tangente S^ et la sous-normale S^^ en un point M(ro,Oo) sont les valeurs algébriques des rayons vecteurs des points T' et N' qui correspondent sur la tangente et la normale en M à l'angle polaire 60 » on a, en gran-

deur et signe,

La tangente MT' et la normale MN' sont les portions de tangente et de normale comprises entre le point M et la droite T'ON', qui a été menée par le pôle O perpendiculairement à OM ; on a, au signe près,

MT'= -j- s/Tï^n^^, MN'= >/rl^r',K

On voit que toute courbe dont la sous-normale polaire est constante est une spirale d'Archimède; car son rayon vecteur est une fonction linéaire de l'angle polaire 0.