I. — Paramètre de distribution et point central

1. Une droite dont les équations dépendent d'un paramètre engendre une surface réglée, qui est dite développable, si la droite reste tangente à une courbe, gauche dans le cas contraire (Ch. III, n** 13). La génératrice étant représentée par les deux équations

(i) X = az -\-p^ y z= bz -^ g,

nous avons vu (Ch. III, n°12) que les surfaces développables.sont caractérisées par la relation

(2) a'q'—b'p'=zo^

où les accents indiquent les dérivées prises par rapport au paramètre, et que la valeur commune des rapports égaux

détermine le z du point où la génératrice est tangente à l'arête de rebroussement de la surface.

2. Cherchons la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines (D) et (Di), répondant aux valeurs p et p4- Aç' du paramètre. Si l'on prend la première pour axe des z^ en faisant a=^b =^ p =^ q ^=o^\di génératrice (D, ) sera représentée par les équations

Leur plus courte distance se projette sur le plan des xy^ qui est perpendiculaire à Tune d'elles, suivant la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la projection de (D, )

(4) x^b — yLa-r- ^a Lq — A6 A/? = o.

Elle a donc pour longueur

^ , ^a La — A6 Ap , a' a' — b' p' ^

(5) 8 = zb ^ — ^ = dn / ^ Ai^M-

v/(Aa)2 H- (A6)î /a'2 -h b'^

Ce calcul, où nous avons négligé les infiniment petits d'ordre supérieur, prouve que, pour les surfaces gauches, 8 est du premier ordre, et, pour les développables, d'un ordre plus élevé. En effet, nous avons démontré (Ch. V, n° 1 i, 4") que 3 est en général du troisième ordre dans les développables.

L'angle cp des deux génératrices infiniment voisines est du premier ordre. En effet, les cosinus directeurs de O2 sont 0,0 et i; ceux de (D<) sont proportionnels à Aa, Aè et i. On a donc

cos

? = ï^7Â^)FT(ï^ = ■ - («'^- *") (^-)'.

en négligeant les puissances supérieures de A(^. De là résulte

sin cp = \/a''i^b'^ \v.

Ainsi l'angle cp est bien du premier ordre. On voit que pour les surfaces gauches le rapport de la distance de deux génératrices infiniment voisines à l^ angle qu^ elles font entre elles tend vers une limite finie. Cette limite est ce qu'on appelle le paramètre de distribution. C'est une longueur A", bien déterminée pour chaque génératrice, variable d'une génératrice à Tautre :

k = Iim - = Iim -: — = — 7- y~ .

<p siQcp a'2-h6'2

D'après sa définition, le paramètre k est constamment nul dans les développables. Nous nous occuperons un peu plus loin (n® 9) du signe qu'il convient de lui attribuer. (Certains auteurs appellent paramètre de distribution l'inverse de k.)

rg^ CHAPITRE X.

3. Théorème. — La perpendiculaire commune à deux génératrices d^une surface réglée tend vers une position limite, quand Vune d'elles tend vers Vautre»

En effet, la perpendiculaire commune à Oz et à (D^) est située dans le plan mené par Oz perpendiculairement à la droite (4)r ce plan, ayant pour équation

Aa

fait, à la limite, avec le 'plan zOx mvl angle 60 dont la tangente est bien déterminée

tangOo -

De plus, nous connaîtrons la distance 5© du plan xOy à la perpendiculaire commune en calculant le z du point où le plan (6) rencontre la droite (D^ ). Or les équations (i/ et (6) donnent

Aa

d'où, en passant à la limite, on déduit

Aa A/? -+- ^b ^q ^

(Aâ)2H-(A6)=»'

Zo =

Ainsi la perpendiculaire commune à une génératrice et à la génératrice infiniment voisine a une position limite. Le point où elle rencontre alors la génératrice considérée est appelé le point central de cette génératrice. La courbe lieu des points centraux est la ligne de striction de la surface.

Remarque. — Pour les développables, la ligne de striction se confond avec l'arête de rebroussement. En effet, la formule (8) donne pour Zq la valeur (3) quand on y introduit l'hypothèse

caractéristique des surfaces développables. Cette remarque nous servira dans diverses circonstances.