II. — Plan tangent aux surfaces gauches; raccordement

4. Les plans tangents aux divers points d'une génératrice peuvent être déterminés par l'angle qu'ils font avec le plan tangent au point central, ou plan central. A cet effet, figurons deux génératrices voisines IM, \\M.^j leur plus courte distance II^ et la parallèle IM'^ à I1 M^. La position limite du plan I1 IM sera le plan central de IM, puisque I< I deviendra une tangente à la surface.

Par le point M, situé à une distance p' de I, menons un plan perpendiculaire à IM; ce plan coupe I<Mi en M|, IM, en M'^ et détermine dans la surface une section dont MM| est une corde. La position limite du plan IMM^ est le plan tangent en M.

Fig. II.

L'angle 9' des deux plans I,IM et IMM| est l'angle de MM< avec la parallèle menée en M à 11^ ou bien avec M<Mj. Dès lors les deux triangles MM'^Mi , IMM'^ , rectangles, l'un en M', , l'autre en M, donnent

o étant l'angle et S la distance des deux génératrices IM, I|Mi. A la limite, 6 et p étant ce que deviennent 6' et p', nous trouvons, en désignant toujours par k le paramètre de distribution,

tango = plim| = |

Donc la tangente de l^ angle compris entre un plan tangent quelconque et le plan central est proportionnelle à la distance de son point de contact au point central,

Dans les développables, le paramètre k étant nul, le plan tangent est toujours perpendiculaire au plan central; il est donc le même, ainsi que nous le savions déjà (Gh. III, n° 19), tout le long d'une génératrice.

Dans les surfaces gauches, quand le point de contact parcourt une génératrice d'une extrémité à l'autre, le plan tangent tourne de 180 degrés. Aux deux extrémités de la génératrice, il est perpendiculaire au plan central.

Il résulte de cette loi de variation du plan tangent que les normales menées à une surface gauche en tous les points d*une de ses génératrices forment un paraboloïde équilatère dont un plan directeur est perpendiculaire à cette génératrice. En effet, si l'on prend pour axe des z la génératrice, pour origine son point central, pour plan des zx le plan central, la formule (9) donne, pour le lieu des normales considérées, l'équation

^ y ~ ï* ce qui démontre la proposition.

5. Quand deux surfaces gauches ont une génératrice commune, on dit qu'il y a raccordement entre ces surfaces aux points de la génératrice commune où elles ont même plan tangent. Considérons deux surfaces telles, (S) et (S^), dont les points centraux soient O et 0<, distants d'une longueur h. Soient de plus A", k^ les deux paramètres de distribution, et V l'angle des deux plans centraux. En un point M de la génératrice commune, le plan tangent à (S) fait avec le plan central correspondant l'angle 6 donné par la formule

tangO = jy

où p désigne la longueur OM. Pour la surface (S^) le plan tangent en M fait avec le plan central un angle 6|, et Ton a

A P — h tango, = i-^

La condition pour que les deux surfaces se raccordent en M est

Éliminant 6 et 0| entre les trois relations précédentes, on obtient l'équation du second degré

(10) p» tangVn- p(A: — A-i — A tangV) -h k(ki tangV — h) = o.

Donc deux sur/aces gauches qui ont une génératrice commune se raccordent en deux points de cette génératrice. S'il y a raccordement en plus de deux points, l'équation (lo) est une identité ; les deux surfaces se raccordent alors tout le long de la génératrice commune, moyennant les conditions

tangV = 0, ki-= k^ h = o,

qui expriment que les deux surfaces ont même point central, même plan central et même paramètre de distribution pour la génératrice considérée.

Dans le cas particulier des surfaces à plan directeur, toutes les génératrices étant parallèles à ce plan, leurs perpendiculaires communes et, par suite, tous les plans centraux, sont perpendiculaires au plan directeur. Si donc deux surfaces ont même plan directeur et admettent une génératrice commune, l'angle V étant nul, ces surfaces se raccordent en un point seulement de cette génératrice. S'il y a raccordement en plus d'un point, elles se raccordent tout le long de la génératrice commune.

Ce qui précède permet, quand une surface est engendrée par une droite s'appuyant sur trois directrices auxquelles on sait mener les tangentes, de construire le plan tangent en un quelconque de ses points, en lui substituant une quadrique qui se raccorde avec elle tout le long de la génératrice (D) du point considéré. Soient en effet (T<), (T2) et (T3) les tangentes menées aux trois directrices aux points M^, M2, M3 où elles rencontrent (D). La quadrique engendrée par une droite qui s'appuie sur(Ti), (Tj) et (T3) contient (D) et se raccorde avec la surface proposée en Mo Mj et M3, et, par suite, tout le long de (D).

Si la surface est à plan directeur et définie par deux directrices, (T<) et (T2) étant les tangentes à ces directrices, on prendra pour surface de raccordement le paraboloide engendré par une droite qui s'appuie sur les deux droites (T,) et (T2) en restant parallèle au plan directeur.