III. — Détermination du paramètre de distribution
et du point central.
6. Pour définir de la manière la plus générale une surface réglée, considérons une courbe directrice (F). Par chaque point (Ç, 7i, Ç) de cette courbe, menons une droite (D) dont les cosinus directeurs soient A, |jl, v. Tout point M(a:, j^, z) d'une telle droite, et, par suite, de la surface réglée qu'elle engendre, est représenté par les formules
(il) a7 = 5-+-XM, y=zr^-Jr^Uy « = Ç-+-vm,
OÙ i, 7|, J^ ainsi que X, [x, v sont des fonctions d'un paramètre i^, et u un second paramètre variable; sa valeur algébrique mesure le segment qu'il faut porter sur la génératrice (D) à partir du point (iî ^> ^) dans la direction (X, jx, v) pour obtenir le point M.
Soient (X|, [Xi, v<) les cosinus directeurs d'une autre génératrice (D<) et cp l'angle que font (D) et (D|). On a, comme on sait,
(12) Sin2(p = (|JLVi VJXi)2-t- (vXi Xvi)*-i- (X[Xi — |xXi)2.
Quand {D\ ) tend vers (D), cp tend vers zéro, et, par une transformation qui nous a déjà servi (Gh. IV, n" 5), on trouve
, ^, ,. sin»ç û?©2 (fX*-H û?a2-+-c?v2
('3> '""^ = rf^î = 5?i '
ce qui montre querfX^+rfjx^+rfv^eg^ia partie principale de sin^«p. Cela posé, si ($i, "îr^o Ci ) est le point où la génératrice (D|) rencontre (F), la plus courte distance 8de (D) etde(D<)a pour carré
(i4) 8»=2(S4-Xm — Ji-Xiw,)S
les paramètres u ei U\ étant déterminés par les deux équations
- ^— =2:X (5 — $i-i-Xa — XiMi) = o, 2 ou ^
— = 2Xi($ — Ji-hXm — XiMi) = 0,
conformément à la théorie générale des maxima et minima.
Pour tirer de ces équations le rapport Slsinç, nous poserons
/ = J — Ji H- X W — Xi Ml, m = 7) ^7)1+ fXM— l^iMi,
n = Ç — Çi H- V w — Vi Ml,
ce qui nous permettra d'écrire
85 = /« -H m« + 71% ( o = Xi / -h (jLi m -H Vi 71.
De ces relations et des équations (i6) on conclut
S» = ^(^-$i)-f-'^(^-^i) + '^(C-îi).
Or la résolution du système (iS)' donne
{XVi — VfXi "" vXi — Xvi "" X[Xi— JxXi "■ /i:(jxVi — V(JLi)2
La valeur commune de ces rapports est, en vertu des formules (i4)' et (12), égale à 8:sin(p. On a donc
( uvi — v(Ai ) 8
(vXi — Xvi) 8
sm
(XjjL,— |jiXi)8
sincp
Substituant ces valeurs dans la relation (17), nous trouvons
S-«i X Xi
Y) — r^i IX iii : sin«<p.
sinco
Faisons maintenant tendre {D^ ) vers (D), en tenant compte de la relation (i3). Nous arriverons à l'expression cherchée du pararamèlre de distribution
d\ dk X d'il d\L |JL d}^ d^f y
: (û?X2-l-C?[JL«-Hûfvî),
Le numérateur de k est le déterminant qui, égalé à zéro, exprime (Ch. UT, n° 12) que la surface est une développable.
igS CHAPITEE X.
7. Proposons-nous de déterminer le point central de la gënëratrlce (D). La valeur A, qu'il faut attribuer à u pour obtenir ce point, est la valeur limite que le système (i 5) assigne à l'inconirac u quand on fait tendre (D|) vers (D). Pour la trouver, posons
Comme l'angle ç des deux génératrices a pour cosinus
les équations (i5) pourront être écrites ainsi
ÎSX AÈ -H coso ^u — w(i — coscp) = o, SX AÇ -4- 2 AX A$ 4- Aa -4- m(i — co5<p) = o.
En les résolvant par rapport à m, on trouve
u sin' 9 = — cos çp S AX Aj -H 2 sin» 2 S X AÇ.
Divisons les deux membres par sin^tp et faisons tendre A(^, et par suite cp, vers zéro ; le dernier groupe du second membre s'évanouit avec A$, Ayj, AÎ^; et, eu égard à la relation (i3), il vient
£fkd^-\- d\i. dri ■+- û?v û?Ç ^'9> '' = dk* + dix* + d^*
Cette formule est identique à la formule (i4) du Chapitre III, qui détermine l'arête de rebroussement d'une développable. En effet, la ligne de striction d'une développable se confond (n° 3) avec son arête de rebroussement.
D'après ce qui précède, l'équation
( 20 ) dX d^ -\- d[i dri -h dy dl^ r=i o
exprime la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe directrice (F) se confonde avec la ligne de striction.
Remarque, — Pour les surfaces à plan directeur, la perpendiculaire commune à deux génératrices étant perpendiculaire à ce plan, en tout point de la ligne de striction le plan tangent est perpendiculaire au plan directeur. Par suite, la ligne de striction
est la courbe de contact du cylindre circonscrit dont les génératrices sont perpendiculaires au plan directeur. Elle se projette sur ce plan suivant l'enveloppe des projections des génératrices. D'après ces résultats, qu'on déduirait aisément de la formule (19), un paraboloide hyperbolique a deux lignes de striction, qui sont deux paraboles ; dans tout conoïde droit à plan directeur, la ligne de striction se confond avec Vaxe,
8. Pour mettre mieux en évidence les propriétés de la ligne de striction et du paramètre de distribution, nous allons transformer les expressions de h et de k. Introduisons les cosinus a, i, c des angles que la génératrice fait avec la tangente, la normale principale et la binormale de la directrice (F). Nous aurons
en désignant par a, . . . , y" les cosinus des trois directions principales de (F). Soient o-, R et T son arc et ses rayons de courbure et de torsion. Appliquant les formules de Frenet, nous trouvons
, ^ dk I da h\ f dh a c\ , [de h\ „
et deux relations analogues, d'où nous concluons
a <f X H- p d^ -^^ d^ ^ da h d(5 "~ rfff R
Le numérateur du premier membre ne diffère de celui de h que par le facteur rftr. Il vient donc
( V fb da\ d(ji
^^^^ ' VR dfi) d\^-\-d^'^-^d^^'
et la condition pour que (F) soit la ligne de striction s'écrit
b da
Donc, si la ligne de striction coupe toutes les génératrices sous un angle constant (a = const.), on a : soitR=oo, ce qui exprime que la ligne de striction est une droite; soit 6=0, ce qui signifie que la génératrice est dans le plan rectifiant de la ligne de striction. Les deux réciproques sont évidemment vraies.
Gomme exemple, cherchons les surfaces réglées dont la ligne de striction est un cercle coupant toutes les génératrices sous un angle constant. Chaque génératrice, étant dans le plan rectifiant du cercle, est perpendiculaire au rayon du point d'où elle est issue; de plus, elle fait un angle constant avec la tangente au cercle en ce point. Les surfaces cherchées sont donc des hyperboloïdes de révolution et leur ligne de striction est le cercle de gorge.
Prenons maintenant pour courbe directrice (F) la ligne de striction elle-même; désignons toujours son arc par a- et appelons V l'angle qu'elle fait avec la génératrice issue du point (Ç, r^, !^);
nous aurons
cos V c?<x = X <a?{ -4- [JL û?7) + V rfÇ.
Élevons au carré les deux membres de la formule (i8), en tenant compte de cette dernière relation et de la condition (20); nous trouverons
d(s^ cosVc?!J o k^ = cos \ d<j I o
o o 2 rfX*
:(c?Xî-f-^ti2|^/v'j)2.
On a donc pour le carré de k cette valeur
d'où, par comparaison avec la relation (i3), on déduit
(18)' A: = sinV^.
acp
Telle est l'expression du paramètre de distribution que nous voulions obtenir. Appliquons-la aux surfaces engendrées par les binorraales d'une courbe gauche (F). La binormale étant dans le plan rectifiant et faisant avec la tangente un angle constant (droit), la courbe (F) est ligne de striction, ainsi que nous venons de le voir. L'angle V est donc droit; d'autre part, îp est l'angle de deux binormales; par suite k est égal au rayon de torsion T. Ainsi, toute courbe gauche est ligne de striction de la surface engendrée par ses binormales, et le paramètre de distribution de chaque génératrice est égal au rayon de torsion de la courbe au point d^oà elle est issue.
