IV. — Signe du paramètre de distribution

9. Il n'a pas été question jusqu'ici du signe de k. Les formules (18) et (18)', à raison de la façon dont elles ont été obtenues, ne déterminent ce paramètre qu'au signe près. Voici comment on est conduit à lui en attribuer un. La loi de variation des plans tangents le long d'une génératrice est très différente, suivant qu'un observateur, traversé par cette génératrice, voit la normale tourner de gauche à droite ou de droite à gauche quand elle s'élève, c'est-à-dire quand son point d'incidence se déplace dans le sens qui va des pieds à la tête de l'observateur.

D'ailleurs, le long d'une génératrice déterminée d'une surface, les apparences resteront les mêmes, comme on s'en assure aisément, pour l'observateur, après qu'il aura été renversé de façon que le point d'incidence de la normale le traverse toujours des pieds à la tête, en parcourant la génératrice dans le sens contraire à celui de son mouvement primitif.

Quand l'observateur voit la normale s^élever de gauche à droite, nous dirons que l'allure de la normale est dextrorsum {sinistrorsum dans le cas contraire). Or nous avons vu (n° 4) que le paraboloïde, lieu des normales menées le long d'une génératrice Ozj le point central étant pris pour origine et le plan central pour plan des zx^ a une équation de la forme

-^ = const. = G,

où la constante C est, en valeur absolue, égale au paramètre de distribution. Les axes de coordonnées étant supposés avoir la disposition habituellement adoptée en Géométrie analytique {voir les figures de la page 1 13), si la constante C est négative, un observateur, traversé des pieds à la tête par la direction positive de l'axe Ozy voit la normale qui engendre le paraboloïde s'élever de gauche à droite; c'est le contraire qui a lieu si la constante C est positive. Dès lors il convient de donner un signe au paramètre de distribution pour distinguer les deux allures de la normale et, par suite, les deux sens de rotation du plan tangent.

ao2

Nous choisirons le signe qui résulte de la formule (i8), et prenant désormais

dri d[i \i

: (cA*-i-rffi«-i-rfv*),

nous n'avons plus qu'à chercher quelle est l'allure des normales

le long d'une génératrice, pour laquelle k est positif.

A cet effet, écrivons l'équation générale du plan tangent à une

surface gauche