X-5-Xw Î'-4-X'm X

où les accents désignent les dérivées prises par rapport à v. Supposons que la courbe directrice (F) soit la ligne de striction; prenons l'un de ses points (Ç, r,, J^) pour origine, la génératrice qui en est issue pour axe des z, ce qui revient à faire Ç = 7| = l^ = o, X:= [JL := o, V = i; prcuous pour plan des zx le plan central, ce qui entraîne ir\' = o. Remarquons enfin qu'en vertu de l'identité

XX'h- fifi'-h vv' = o

la dérivée v' est nulle et que, l'expression (19) de h devant être nulle, on a aussi V = o. L'équation du plan tangent se réduira à

Or u est le z de son point de contact; par suite, l'équation du paraboloïde des normales sera

Mais, si l'on se reporte à l'expression (18) du paramètre de distribution et qu'on y introduise les hypothèses actuelles, on trouvera simplement

L'équation du paraboloïde des normales devient alors zy= — kx.

ÉTUDE DES SURFACES RÉGLÉES. 2o3

De là et de ce qui a été vu plus haut, nous concluons que, pour les génératrices dont le paramètre de distribution est positif, V allure des normales est dextrorsum (sinistrorsum si A* < o).

Remarque I, — On peut facilement se rappeler le signe que nous choisissons pour A:, en observant qu'en vertu de ce choix l'égalité énoncée à la fin du n° 8 est exacte en grandeur et en signe. Si, en effet, dans la formule (i8) on remplace X, [x, v par les cosinus a", ^"j y" delà binormale à la courbe directrice (F), et qu'on applique les formules de Frenet, on trouve immédiatement

le déterminant des neuf cosinus étant égal à l'unité (Gh. IV, n°3). Aiosi, chaque génératrice d'une surface de binor maies a son paramètre de distribution égal au rayon de torsion de la ligne de striction au point d'où elle est issue.

Remarque II, — Si dans la formule (i8) on change les signes de Ç et de v, le paramètre k change de signe; d'où cette conclusion : Si deux surfaces réglées sont symétriques par rapport à un plan, les paramètres de distribution de leurs génératrices homologues sont égaux et de signes contraires.