V. — Élément linéaire ; trajectoires orthogonales
des génératrices.
10. Les coordonnées d'une surface réglée étant représentées par les formules
on a immédiatement leurs différentielles
dx ^Idu-i- ($'-h Vu) <fp, dy = [idu-h (ri'-\- (jl'm) t/p, dz = V â?M H- (f -f- v' w) dvj
ao4 CHAPITRE X.
les accents indiquant toujours des dérivées prises par rapport au paramètre ^. Par suite, l'élément linéaire a pour expression
les lettres A, B, G ayant les significations suivantes
En conséquence, les coefficients de l'élément linéaire ont respectivement pour valeurs
On remarquera que G est un trinôme du second degré en u dont les coefficients sont des fonctions de (^, que F dépend uniquement de v et que E se réduit à l'unité. Par suite, les trajectoires orthogonales des génératrices de toute surface réglée sont déterminées par une quadrature. En effet, les trajectoires des courbes ^ = const. sur une surface quelconque dépendent, comme on sait (Gh. [II, n** 6), de l'équation diff'érentielle
E <ia -h F éfp = o, qui, dans le cas des surfaces réglées, a pour intégrale
u -\- I (X$'-h (Jiîj'H-vf ) dv = const.
Si donc on veut rapporter une surface réglée à ses génératrices et à leurs trajectoires orthogonales, on devra introduire, à la place de u, le premier membre t de l'équation précédente; il viendra ainsi
(23) ds^ = dt^ -]- {Xit^ -h iBit -h Cl) dv^,
les coefficients Ai, B< et Ci ne dépendant que de v^ d'ailleurs A| ne diff'ère pas de A.
On peut transformer l'expression (22) de manière à n'y laisser figurer que des éléments géométriques remarquables. Rapportons, en eff'et, la surface à ses génératrices et à sa ligne de striction prise pour courbe directrice (F) ; il suit de là tout d'abord que le coefficient B sera nul, en vertu de la relation (20). Si, de plus, on prend pour paramètre ç l'arc tr de la ligne de striction, le coeffi-
ÉTUDE DES SURFACES RÉGLÉES. 2o5
cient F sera le cosinus de l'angle V que cette ligne fait avec les
génératrices; le coefficient C sera égal à l'unité et nous pourrons
écrire
ds^ = {du -4- cosV û?!t)2+ (Aaî -+- sin» V) d<j^.
Mais, si Ton introduit le paramètre de distribution k au moyen des relations (i3) et (i8)', qui donnent
on arrive à cette forme entièrement géométrique
(24) éf52 = (û?a^-cosVû?<x)2-l- (^ -^-i\ sin2Vt/!T2.
Dans le cas particulier des surfaces développât les, le calcul est plus simple encore : les génératrices étant les tangentes de la ligne de striction (arête de rebroussement), V est nul, A est égal au carré i : R^ de la courbure de cette ligne, et il vient
(25) ds' = {du -{- d<jy -h ~.
Les résultats que nous venons d'obtenir jouent un rôle important dans la théorie de la déformation des surfaces réglées.
