VI.— Lignes asymptotiques ; surfaces minima réglées

H. Nous allons former Téquation différentielle des lignes asymptotiques des surfaces réglées, en partant des formules générales

cil toutes les lettres ont les significations que nous leur avons

attribuées au n° 6.

Les coordonnées x^ y^ z de la surface étant des fonctions

linéaires de m, leurs dérivées secondes ^"^a, y]^i^ z,^i sont nulles;

le déterminant D est nul. L'équation des lignes asymptotiques

se réduit à

dv{iD'du-^h''dv) = o.

Le facteur dç^ égalé à zéro, donne i^ = const., c'est-à-dire les génératrices de la surface. L'autre système d'asymptotiques est défini par l'équation

fx' (X Y)'

que nous écrirons

>' -1 — h Lwî-h Mm -f- N = o,

en représentant par L et N les deux déterminants

et par M un déterminant qui est la dérivée de D' par rapport à p. Les quatre coefficients D', L, M, N étant des fonctions de la seule variable v, la détermination des asympto tiques rf' une surface réglée dépend d^une équation de Riccati.

De là découlent diverses conséquences :

1° Le rapport anharmonique de quatre solutions d'une équation de Riccati étant constant, et u désignant la distance d'un point variable d'une génératrice à un point fixe sur cette droite, on voit que si {G\)^ (C2), {C3),(Ca) sont quatre asympto tiques fixes, mais quelconques, les quatre points P<, P2, P3, P4 oà elles rencontrent les diverses génératrices de la surface ont même rapport anharmonique pour toutes ces génératrices. C'est ce qu'on énonce plus brièvement ainsi : les génératrices d^une surface réglée sont divisées harmoniquement par ses lignes asymptotiques.

2** Si Von connaît trois asymptotiques, on les obtient toutes sans intégration; si Von connaît deux asymptotiques, on les détermine toutes au moyen d'une seule quadrature; si Von connaît une seule asymptotique, on les trouve toutes par deux quadratures. Cela résulte des propriétés connues de l'équation de Riccali.

12. Voici deux cas dans lesquels la dernière circonstance se présente. Supposons d'abord que réquation(26) ne contienne pas de terme en m^, et, par suite, se réduise à une équation linéaire. On peut supposer que le coefficient L, au lieu d'être nui, tende vers zéro; on voit alors, en prenant pour fonction inconnue l'inverse de u, que u = <x> est une solution de la proposée: en d'autres termes, la surface admet une asymptotique rejetée tout entière à l'infini. Pour que L soit identiquement nul, il faut et il sufBt qu'il existe trois constantes A, B, C telles que l'on ait

toujours

AX -4- BjjL-i- Gv = o,

c'est-à-dire que les génératrices soient parallèles au plan

Aa? -+■ By -+- G 3 = o.

La surface est une surface à plan directeur. Nous avons déjà traité ce cas directement (l^h. VIII, n° 8).

Supposons maintenant que l'équation (26) ne contienne pas de terme constant, c'est-à-dire que N soit nul. Cela signifie que la courbe (F), lieu du point (Ç, tj, Ç), est une asymptotique de la surface. En effet, le déterminant N étant nul, il existe deux fonctions P et Q de la variable ç, telles qu'on ait identiquement

Ces formules expriment que la génératrice (X, [jl, v) est contenue dans le plan osculateur à la courbe (F) et que, par suite, le plan tangent à la surface se confond avec ce plan osculateur : ainsi (F) est une asymptotique. Réciproquement, les formules

où P et Q^ sont des fonctions arbitraires de ^, représentent toutes les surfaces réglées qui admettent pour ligne asymptotique la courbe {V)^ lieu du point (S, vj, Z). De ce nombre sont les surfaces formées par les normales principales d'une courbe gauche; cette courbe est une de leurs asymptotiques.

Considérons enfin une surface engendrée par la droite qui joint chaque point d'une courbe gauche (F) au centre de la sphère osculatrice en ce point. On connaît, bien qu'elle ne soit pas mise

immédiatement en évidence par l'équation difTérentielle (26), une ligne asymptotique de la surface : c'est le lieu des centres des sphères osculatrices de (F). En effet, celte courbe étant l'arête de rebroussement de la surface polaire de (F), son plan osculaleur, qui est le plan normal de (F), reste constamment tangent à la surface considérée.

13. Nous rattacherons à l'équation (a6) le résultat suivant :

Théorème. — L! hélicolde à plan directeur est la seule surface réglée réelle qui soit en même temps une surface minima.

En effet, les surfaces minima étant caractérisées parla propriété d'avoir en tous leurs points leurs asymptotiques rectangulaires, sur toute surface réglée minima une famille d'asymptotiques est formée par les trajectoires orthogonales des génératrices. Or, en chaque point d'une telle asymptotique, le plan osculateur est tangent à la surface; par suite, la génératrice qui est issue de ce point est située dans ce plan, ce qui exige qu'elle se confonde avec la normale principale de la ligne asymptotique. Ainsi toute surface réglée minima, s'il en existe, est le lieu des normales principales d'une courbe et même d'une infînité de courbes. Mais, d'après une proposition connue (Gh. IX, n® 11), deux asymptotiques quelconques interceptent sur toutes les génératrices des segments de même longueur. Si donc nous rapportons les surfaces cherchées à leurs génératrices {v = const.) et à une asymptotique prise pour courbe directrice, chaque asymptotique aura une équation de la forme u = const. D'après cela, l'équation (26) devra se réduire à dudv =1 o.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut d'abord que L soit nul. Or la condition L = o exprime (n** 12) que la surface est à plan directeur. D'ailleurs, toute courbe dont les normales principales sont parallèles à un plan est une hélice. Car, ce plan étant pris pour plan des xy^ on a, par hypothèse^ y' = o ; et, en vertu des formules de Frenet, y est constant, c'est-à-dire que les tangentes font un angle constant avec l'axe O^, ce qui est une propriété caractéristique de l'hélice (Ch. V, n® 4).

Toute asymptotique d'une des surfaces cherchées est donc une hélice. Si nous prenons pour paramètre {> l'arc de la section

droite (S) du cylindre qui porte cette hélice (F), la coordonnée Ç d'un point de (F) pourra être prise proportionnelle à l'arc correspondant ç et nous aurons, avec nos notations habituelles,

; = mv, ;' = m, Ç" = o, V = o, v' = o, v' = o.

Dès lors, le déterminant D'^, qui doit ^tre nul quel que soit m, se réduit à

= m[(iJLX'— 'kii'')u -h ^$'— XV].

En particulier le coefficient de u doit être nul, ce qui donne

|jiX' — XfjL' = const.

Or X et [A sont respectivement les cosinus a' et P' de la normale principale à la section droite (S). Les formules de Frenet donnent en conséquence

ds> " R, " Ri '

Ri étant le rayon de courbure de la section. On a donc

fxV— X{ji'= i

ce qui montre que Ri est constant, ou que (S) est un cercle. Il suit de là que la seule surface réglée réelle qui puisse être une surface minimaestrhélicoïde à plan directeur. Or, nous savons qu'il jouit bien de cette propriété (Ch. VIII, n" 7), ce qui achève la démonstration du théorème.

210 CHAPITRE Xf.