I. — Formules de rectification; premiers exemples

1. Nous avons défini au Chapitre II (n** 5) la longueur d* un arc de courbe, plane ou gauche. Rectifier nn arc, c'est évaluer sa longueur, c'est-à-dire calculer l'intégrale

où dx, dy, dz sont les différentielles des coordonnées rectangulaires d'un point de l'arc, Ua et Ub les valeurs que prend à son origine et à son extrémité le paramètre w, en fonction duquel sont exprimées x^ y^ z.

Il convient de voir ce que devient l'élément de cette intégrale quand on se sert des deux systèmes de coordonnées les plus usités après les coordonnées cartésiennes.

Pour calculer la forme quadratique

(2) ds'*^ = dx^ -h dy^ -h dz^

dans le système des coordonnées semi-polaires, r, 0, ^, rappelons les relations bien connues

(3) a7=rcos0, ^ = rsinO.

En les différentiant, on trouve

(4) dx^-^dy^= [û?(/-cose)]2-i-[û?(rsin6)]2 = rf/-2-4-r2ûf62,

d'où résulte immédiatement

( ) ds^ = dr^ -{- /•» û?Ô« 4- dz^.

SI l'on emploie les coordonnées polaires de l'espace p, ^, 9, on partira des relations

(6) a? = p sin^» COS0, ^ = p sintj; sin6, z = pcos^j qui, rapprochées des équations (3), donnent

r = psin<J^, s = pcos4'.

Par suite, en appliquant la formule (5), on trouve

ds^ = [â?(psiin^)]2-4- p>sin*<J;<a?ô2-4-[û?(p cost]^)]*.

On achève le calcul en se servant de l'identité (4), où l'on remplace r par p et par ^, ce qui donne finalement

(7) ds^= dp^-^p^d^^-hp^sin^^d^^.

D'après la façon même dont nous avons mis l'expression différentielle (2) sous les formes (5) et (-j), ces dernières expressions n'auraient changé en rien, si les coordonnées x, y^ z avaient été entièrement indépendantes les unes des autres, auquel cas la forme (2) est dite élément linéaire de V espace. Si l'on y remplace ^,y, z par des fonctions de trois variables indépendantes w, ^, w (^coordonnées curspilignes de Vespace\ il vient

liliOPu^Ddu dv + 2{^x'i,x'^)dv dw •+- 'i{I.xl^,x'i^) dw duj

et nous avons vu, à propos du théorème de Dupin (Gh. IX, n** 12), que les trois identités

expriment la propriété des surfaces coordonnées u = const., ç = const., iv = const., de former un système triple orthogonal. Orl,es trois formes (2), (5) et (7) présentent ce caractère commun de ne contenir que les carrés des différentielles qui y figurent. L'évanouissement des termes rectangles tient à ce que les trois systèmes de coordonnées que nous avons employés sont des systèmes triples orthogonaux (Ch. IX, n° 11).

2. Avant de rectifier quelques courbes planes remarquables, nous rappellerons deux résultats antérieurs (Gh. IV, n** 9). Une cycloïde étant représentée par les équations

X = a{u — sinu), y = a{\ — cosa),

nous avons trouvé, pour la dérivée de son arc,

ds . u

-j~ = ia sin — • du 2

D'après cela, la portion de courbe comprise entre le sommet S (m = Tt) et le point M de paramètre u a pour longueur

f sin - aa = 4« cos —

Mais, la différence z des ordonnées de S et de M étant

z = ia — a(i — cos m) = 2a cos* — ,

on a 5^=: 8a3, ce qui permet de construire s. On voit en outre, en faisant ^ = 2a, que la longueur d'une arcade entière de la cycloïde est égale à huit fois le rayon du cercle générateur. Au même endroit nous avons rectifié la chaînette.