II. — Rectiûcation des courbes uuicursales

3. Une courbe unicursale est une courbe dont les coordonnées peuvent être exprimées par des fonctions rationnelles d'un paramètre. Si la courbe est plane et d'ordre m, on aura

en désignant par A, B, C trois polynômes entiers en m, du degré m, sans diviseur commun. De plus, ces formules font correspondre à chaque point simple {ocr^ yr) de la courbe une valeur unique Uràw paramètre w, de sorte que, si l'on appelle A', B', Q les dérivées de A, B, C, prises par rapport à a, l'arc s compris

ARCS y AIRES ET YOLUMES. 2l3

entre deux points (^m^i) et (^2j ^^2) est représenté par l'intégrale

dont les limites sont parfaitement déterminées. C'est là une intégrale hjperelliptique dont le radical porte sur un polynôme du degré ^[m — i). Mais, quand la courbe présente certaines particularités, notamment quand elle coupe la droite de l'infini aux points cycliques, le polynôme soumis au radical admet des facteurs binômes multiples que l'on peut faire sortir au moins partiellement du radical; c'est ainsi que la rectification de certaines courbes dépend seulement d'intégrales elliptiques, ou même d'intégrales plus simples encore, comme on le verra dans plusieurs des exemples qui vont suivre.

Cercle, — Tout cercle de rayon R peut être représenté parles

formules

(i — m2)R luK

d'où l'on déduit immédiatement

ds Rv/i6a2 H4(i— «2^2 .2R(i-+-w2) 9. R

du (l-f-M2)2 (i|-t^2)î I-f-f*î

Le mécanisme de la réduction, qui remplace ici une intégrale elliptique par un arc tangente, se manifeste avec évidence.

Parabole, — Toute parabole du second degré étant tangente à la droite de l'infini, on reconnaît facilement que, quand ses coordonnées sont mises sous la forme (8), leur dénominateur commun G (m) est un carré parfait. Or il est visible sur la formule (9) que, si le polynôme G et sa dérivée G ont un facteur binôme commun, on peut faire sortir ce facteur du radical. Dans le cas présent, le radical ne portera plus que sur un polynôme du second degré.

On peut arriver autrement à la même réduction. En effet, quand le polynôme C(u) a toutes ses racines égales^ on peut exprimer les coordonnées x et y par deux polynômes entiers; il suffit d'opérer sur le paramètre u une transformation homographique

3l4 CHAPITRE XI.

telle qu'à Tunique racine de C corresponde, pour le nouveau paramètre /, une valeur infinie. Alors x ei y deviendront des polynômes entiers en t, et le radical qui figure dans la relation (9) ne portera plus que sur un polynôme du degré a (m — i). Pour la parabole, il suffit de partir de Téquation

et de prendre^ comme variable. On trouve ainsi

p ds = yjy^ -h/?* dy.

En intégrant par parties, on déduit facilement de là

'ip 2 p '

l'arc 5 est compté à partir du sommet de la parabole.

4. Ellipse, — L'équation de l'ellipse, rapportée à ses axes de symétrie, étant

si l'on prend pour variable x^ on trouve

Intégrant à partir du sommet de droite (^:=ra, ^ = 0), nous avons

ce qui est la différence des deux intégrales elliptiques, l'une de première, l'autre de seconde espèce.

Si l'on pose avec Legendre a: = asinç, la relation précédente prend la forme plus simple

^= / y/i — e*sin*cprfcp,

où e désigne l'excentricité de la courbe. Le développement du

ARCS, AIRES ET VOLUMES. 2l5

radical par la formule du binôme donne lieu à une série uniformément convergente, quelle que soit la valeur de cp,

On peut donc intégrer le second membre terme à terme, ce qui donnera Tare développé suivant les puissances de l'excentricité. Calculons par ce moyen la longueur totale E de l'ellipse

= 4« / \/i — e* sin^cp û?(p.

Par l'emploi réitéré de la formule connue