in — 1) TT

Jf sin*«oû?9 = , ^

on trouvera le périmètre cherché

E = ..a[,-(-) y-(.;^) T-lï^Të) T— -J-

Remarque, — On peut souvent prendre pour longueur approchée d^une ellipse celle d'une circonférence dont le diamètre serait égal à l'excès du triple de la moyenne arithmétique des demi-axes sur leur moyenne géométrique. En effet, la longueur de cette circonférence

peut être écrite de la façon suivante

G = Tua 3

-{/r^TiV

Or, si l'on effectue les développements des radicaux, on trouvera

i—r e' 3e* 7es 77e*

Ces valeurs, portées dans l'expression de C, reproduisent les quatre premiers termes de E^ la difTérence entre E et C est donc de Tordre de e*, ce qui permet de la négliger, au moins pour les ellipses de faible excentricité.

5. Cubiques circulaires, — On appelle circulaires les courbes qui passen t par les points cycliques. Tandis que, pour une cubique unicursale quelconque, le radical qui figure dans la formule (9) porte sur un polynôme du huitième degré, Varc des cubiques unicursales circulaires dépend d'une intégrale elliptique.

En effet, toute cubique unicursale a un point double, qui ne peut être rejeté à l'infini quand la courbe est réelle et passe par les points cycliques. On peut donc mettre l'origine au point double, et, si l'on prend l'axe des^ parallèle à l'asymptote réelle, l'équation générale des cubiques unicursales circulaires sera

a, 6, c désignant des constantes. Si l'on pose

y = ux, T(a) = aa'H- 2 6a-h c,

on trouvera immédiatement

T mT

Différentiant et désignant par T' la dérivée de T, nous avons

dx (1-+- u'^)T—iuT dy 1^(1 H- m^)T-H(i — m«)T

du~ (i-ha*)* ' du~~ (n-w>)'

Faisons la somme des carrés et simplifions; il viendra

ds^ __ T»— 2^TrH-(i-4-M*)T^

Le numérateur du second membre est seulement du quatrième degré, ce qui prouve notre assertion. Parmi les courbes considérées figurent les strophoïdes obliques ou droites, ainsi que les cissoïdes, qui correspondent au cas où le trinôme T est un carré parfait. Dans ce cas, l'arc s'exprime sans intégrale elliptique : on le voit en faisant T = a{u — hy. Si h est nul, lacissoïde est droite.

6. Epicycloïdes. — On appelle épicycloïde la courbe que décrit un point d'un cercle qui roule sur un autre cercle. Quand les rayons des deux cercles ont une commune mesure, V épicycloïde est unicursale. Prenons en eflFet pour origine des coordonnées le centre du cercle fixe, pour unité de longueur son rajon, et soit m le rayon du cercle mobile. Si ce cercle roule extérieurement sur le cercle fixe, les coordonnées de l'épicycloïde seront représentées^ en fonction d'un angle auxiliaire cp, par les formules connues

( X = {\-\- m) cosm<p — /ncos(i-t- /?î)9, ( ^ = (ï-f- /n)siii mcp — m siii(n- m)f^.

Si le cercle mobile roule intérieurement sur le cercle fixe, c'està-dire de telle façon que les deux centres soient du même côté de la tangente commune, l'épicycloïde a pour équations

!a? :t= (1 — tn) cos/nflp -h ni cos(i — '^)9, ^ = (i — m) sin m<p — m sin (1 — m)o.

On lui donne aussi, dans ce cas, le nom àH hypocycloïde * Soit q le dénominateur de la fraction m, supposée irréductible. 11 suffit évidemment de prendre comme nouveau paramètre

pour que ^ et y deviennent des fonctions rationnelles de u*

Je dis maintenant que tout arc d^ épicycloïde s^ exprime algébriquement en fonction des coordonnées de son extrémité. Il suffit de le vérifier sur les formules (E), les équations (H) se déduisant des précédentes par le changement de m en m — i . Or, on a

dx = — m(n- m) [sin /ntp — sin (n- w)cp] rfcp, û?/ = m(i-i- m) [cosmcp — cos(n- m)cp] (icp;

d'où l'on conclut immédiatement

a*^ = 2 /n* ( n- m )2 (i — cos cp ) t/cp* = 4 '^^ ( H- /^ )^ sin* - c/cp'.

Extrayant la racine carrée et intégrant, on trouve

s = Lmi\ -i- ni) (cos ^ — cos-^- )

2l8 CHAPITRE XI.

les angles ©o et ç correspondant respectivement à l'origine et à l'extrémîté de Tare cherché. On voit que sa longueur s est une fonction algébrique des coordonnées x et y de son extrémité; car cosç, tiré des équations (E), est une fonction linéaire de ^--h^^. Nous citerons, comme exemple d'épicycloïde, la courbe appelée cardioïde, qui est un cas particulier du limaçon de Pascal et qui est représentée par les formules (E) quand on y fait m = i . C'est une quartique qui a un point de rebroussement, et qui admet comme points doubles les points cycliques. Mentionnons encore une autre quartique, Vhypocycloïde à trois rehroussements , qui touche la droite de l'infini aux deux points cycliques, et qu'on obtient en faisant /w = | dans les équations (H).