III. — Détermination de courbes par des propriétés

du premier ordre.

3. Les propriétés relalives aux tangentes et aux plans normaux, ainsi que celles des normales à une courbe plane, correspondent à des relations où figurent des dérivées du premier ordre. C'est pourquoi, quand on cherche à déterminer des courbes d'après une condition assignée à ces éléments, on est conduit à des équations différentielles .du premier ordre.

Supposons, par exemple, que les plans normaux d'une courbe passent tous par un point fixe x =^y = ^ = o. Nous aurons l'équation différentielle

œx' -\- yy' -\- zz' = o,

qui ne suffit évidemment pas à déterminer la courbe, mais qui entraîne

x^ -ir- y^ -\- z^ =■ const.

Donc, toute courbe dont les plans normaux passent par un point fixe est tracée sur une sphère décrite de ce point comme centre. 11 est prouvé aussi par là que toute courbe plane dont les normales passent par un point fixe est un cercle décrit de ce point comme centre.

Comme autre exemple, soit à trouver une courbe telle que la normale en chacun de ses points fasse des angles égaux avec les rayons vecteurs qui vont de ce point à deux points fixes F(;r = c, ^ = o) et F'(^ = — c, y = o). L'équation du problème est, en axes rectangulaires,

Pour l'intégrer, remarquons que l'origine est évidemment un centre de symétrie de la courbe, ce qu'il est d'ailleurs aisé de vérifier. On est ainsi conduit à prendre de nouvelles variables

L'équation précédente devient alors

C'est une équation de Glairaut; on obtient son intégrale générale en remplaçant la dérivée r/ par une constante arbitraire X. On trouve ainsi, en revenant aux notations primitives,

(8) ^î Xrr«-f-^=o,

c'est-à-dire des coniques ayant pour axes de sjmétrie la droite FF' et la perpendiculaire en son milieu. Leurs demi-axes ont respectivement pour carrés

d'où résulte a^ — b^=c^. En conséquence, les courbes cherchées sont les ellipses et les hyperboles qui ont pour foyers les points F et F'.

4. Remarque, — Si la propriété qu'on assigne à la normale ou à la tangente d'une courbe s'exprime par une relation où n'interviennent que les coefficients de l'équation de cette droite, on sera toujours conduit à une équation du type

(9) 7 = ^/(/?) -+-?(/>)» Y^di

qu'on intègre par différentiation. En effet, pour une normale