III. — Arcs en coordonnées polaires

7. Une courbe plane étant rapportée à des coordonnées polaires, la difTérentielle de son arc est donnée, d'après ce que nous avons vu au n° 1, par la formule

où il n'est pas nécessaire de spécifier la variable indépendante, à raison de la règle connue pour le changement de variable sous le signe d'intégration.

Spirale logarithmique, — Cette courbe, dont l'équation est

admet l'origine des coordonnées comme point asymptote; on voit, en effet, que si la constante m est positive, ce qu'on peut toujours supposer, le rayon vecteur /• ne devient nul que pour 9 = — oo. La courbe présente une infinité de spires qui s'enroulent autour de l'origine. Néanmoins, Tare compris entre ce point asymptote O et un point M d'angle polaire 6 a une longueur finie. En effet, la formule (lo) donne ici

ds = as/ \-^ ni^ e^^dQ = — i/i H- ^'^^ dr.

Intégrant à partir de r = o, on trouve, pour l'arc OM,

Si, maintenant, on mène la tangente en M et le'rajon vecteur perpendiculaire à OM, ces deux droites se coupent en un point T; le segment MT, que nous avons évalué sous le nom de tangente (Ch. II, n® 2), a pour longueur

r /— j- rv/i-h m*

Ainsi, Varc de spirale logarithmique , compté à partir du point asymptote, est égal à la tangente en son extrémité,

Cardioide. — La tangente de rebroussement étant prise pour axe polaire, l'équation de la cardioïde est

r = a(i — cosO).

En appliquant la formule (lo), on trouve

ds =z a J'i — 'Acosô û?3 = 2 a sin - û?ô.

Intégrant à partir du point de rebroussement, on a

— t^a\ I — cos - ) = 8 a sm* - \ 1) 4

ce qui montre que l'arc est algébrique (n® 6).

Lemniscate, — De l'équation connue r2=a^cos2 9, nous tirons

6 = - arc cos — - :

la variable indépendante étant r, la formule (lo) donne

, a^dr

as =

Ainsi, la rectification de la lemniscate dépend d'une intégrale elliptique de première espèce, La courbe étant unicursale et du quatrième ordre, si l'on exprimait ses coordonnées en fonc-

lions rationnelles d'un paramèlre a, le radical qui figure dans la valeur de ds devrait porter sur un polynôme du degré 12. La réduction, qui tient aux propriétés particulières de la lemniscate relativement aux points cycliques (n° 3), s'est opérée d'elle-même grâce à l'emploi des coordonnées polaires.

Posant r = a ^i — t'^j on arrive à la forme canonique

, a dt

as = =—^-—---—=— •

Intégrant à partir d'un sommet de la courbe (< = o), on aura

L'inversion de cette intégrale donne, comme on sait,

/ = sn f r = acn—^ — ?

les notations étant celles de Jacobi; le module est i \sj7. Autre exemple. — Considérons enfin la sextique

Son équation en coordonnées polaires peut s'écrire

6 = TT arc cos — • 3 2

En appliquant la formule (10), on trouve

, idr dt

as = — rrrzzrr- = —

d'où Ton tire, en comptant les arcs à partir du point triple,

les notations sont ici celles de M. Weierstrass; les invariants on t respectivement pour valeurs ^2 = o, ^3 = i .