IV. — Intégrales doubles; aires planes
8. Toute Péliide des aires est fondée sur deux importantes propositions d'Analyse, que nous nous contenterons de rappeler.
Théorème I. — Etant donnée une fonction F(:r,^), continue par rapport aux deux variables x et y dans toute une région finie (C)du plan des xy, on trace sur ce plan un réseau de parallèles x =^ Xr ^^ y=ys ciux axes de coordonnées, les nombres Xr allant tous en croissant ou en décroissant quand l^ indice r augmente, de même pour les nombres y s et l'indice s\ on considère toutes les mailles du réseau qui ont leurs quatre sommets à V intérieur ou sur le périmètre de la région (C) et Von forme la somme double
S =2 F(?r,5, r^r,s){0l^r-^\—0Pr){ys+\ —ys\ r,s
où ^r,s ^t rir^s sont les coordonnées d'un point pris arbitrairement à l'intérieur ou sur le contour de la maille limitée par les quatre droites x = Xr, x = Xr^t , y =ys^ y =ys+i •
Si l'on fait tendre tous les intervalles ^r^+i — Xr^ J^j+i — ys vers zéro, suivant une loi quelconque, tandis que leur nombre augmente indéfiniment^ les diverses sommes S arrivent à différer aussi peu qu'on veut les unes des autres.
C'est l'une quelconque de ces sommes, aussi voisines qu'on veut, que l'on appelle V intégrale double de la fonction¥ [x ^ y), étendue à la région (C), et que l'on représente par le symbole
(il) f f F(x,y)dxdy,
On peut, pour évaluer cette intégrale doul)le, sommer d'abord tous les éléments qui correspondent à une même valeur de l'un des deux indices, r par exemple, puis réunir les résultats partiels relatifs aux diverses valeurs de r; c'est ce que l'on exprime brièvement en disant qu'on intègre d'abord par rapport à y, en laissant x constant, puis par rapport à x.
Théorème II. — Si l'on exprime x et y par des fonctions bien déterminées de deux nouvelles variables
(12) ar=/i(M,p), j^=/,(w,p),
de telle sorte qu'à tout point de la région (C) corresponde un seul point de la région du plan des uv que Von fait correspondre à celte région (C), l'intégrale (11) prend la forme équivalente
les fonctions x et y, ainsi que leurs dérivées partielles, étant remplacées par leurs expressions tirées des relations (12) et la sommation s' étendant à toutes les mailles du plan des uvj dont les sommets correspondent à des points [x^y) situés à l'intérieur ou sur le périmètre de la région (C).
Ce théorème, combiné avec la remarque qui suit le précédent, fournit un moyen, très fréquemment employé, d'évaluer les intégrales doubles.
9. Définition, — Une région (G) étant délimitée de toutes parts sur un plan, traçons sur ce plan un réseau de droites parallèles à deux axes rectangulaires Ox, Oy, et sommons les aires de tous les rectangles du réseau qui ont leurs sommets à l'intérieur ou sur le contour de la région (C). Le nombre de ces rectangles croissant indéfiniment, et les dimensions de chacun d'eux tendant vers zéro, la somme de leurs aires deviendra l'intégrale double
(i4) A = I j dx dy.
Par définition^ cette intégrale est l'aire de la région (C). Pour que celte définition soit acceptable, il faut prouver que l'intégrale ci-dessus a une valeur indépendante de la direction des axes. A cet effet, exprimons-la au moyen de nouvelles coordonnées :r,,j^i. Les formules (12), qui sont ici
X = a-\- Xi cosa — yi sina, y = b -i- Xi sina -hyi cosa,
donneniVunité pour valeur du déterminant fonctionnel de x ely par rapport à o^i et j^i, de sorte que l'intégrale (i4) devient
/ / dxi dyi,
*/ JtCA
Or c'est précisément à cette intégrale double que conduit la sommation des mailles dont les côtés sont parallèles aux axes des Xi et des j-|. Ainsi Vaire d^ une région est la somme de toutes les mailles qui y sont découpées par un réseau quelconque de droites rectangulaires.
Cet énoncé est encore valable quand les mailles du réseau sont des quadrilatères curvilignes. En effet, si Ton remplace sous les conditions du théorème II (n*^ 8) les variables x^y par des coordonnées curvilignes m, v^ l'aire de la région (C) sera représentée par l'intégrale double
Or si Ton réduit la région (C) à la maille (m) comprise entre les quatre courbes coordonnées a, u -\-du^ ^, (^ + rf^, on voit que Ton obtiendra Faire de cette maille en calculant Tintégrale
OÙ les différentielles 8m, 8i^ sont incomparablement plus petites que du etdv. Mais, d'après une propriété connue, celte intégrale peut être écrite
du ds^ dv du/Qj J^^^ \du ôv âv ou/q
l'indice o désignant une valeur que le déterminant fonctionnel prend en un certain point de la maille (m). Or la substitution de cette valeur moyenne à celle que le déterminant acquiert au sommet (a, <^) de la maille n'influe pas, d'après la définition de l'intégrale double (n*^ 8), sur la valeur de l'intégrale (i 5). On est donc en droit de dire que l'aire d'une région est la somme des aires des mailles qui y sont découpées par un réseau curviligne quelconque.
Revenant alors au théorème II du n° 8, on peut l'énoncer brièvement ainsi : L'intégrale double d'une fonction F{x, y) étendue à une région (C) est la somme des aires des mailles que découpe dans cette région un réseau curviligne quelconque, multipliées chacune par la valeur que la fonction F prend en un point arbitraire de leur intérieur ou de leur contour.
Remarque. — L'opération qui consiste à évaluer l'aire d'une surface a été appelée la quadrature de cette surface par les anciens géomètres, qui cherchaient à construire un carré équivalent à la surface proposée. On voit que cette opération exige, en général, le calcul successif de deux intégrales simples, dont la première contient dans son élément différentiel une variable considérée comme une constante indéterminée, x par exemple, si l'on intègre d'abord par rapport à y^ et dont les limites sont des fonctions de ceUe même variable. Les difficultés qui résultent de là peuvent souvent être évitées par l'emploi de coordonnées curvilignes convenables.
