V. — Aires des trapèzes mixtilignes plans

10. Etant donné, dans un plan rapporté à deux axes rectangulaires, un trapèze mixtiligne (T) ayant pour bases deux ordonnées x=^Xq ei X =^1L (X > Xq)^ pour côtés les segments que ces deux ordonnées interceptent, d'une part, sur Taxe des x, d'autre part sur un arc de courbe représenté par l'équation^ =f(^x)j l'aire de ce trapèze est exprimée par l'intégrale double

(i6) A = / / dxdy.

Intégrant d'abord par rapport à y (n** 8) entre les valeurs limites qui, pour chaque valeur de x^ sont respectivement zéro et y=f{x)^ nous trouvons

(17) A= f f{x)dx,

La quadrature de l'aire considérée se ramène donc immédiate-

ment à l'évaluation d'une intégrale simple; de là vient la synonymie de ces deux termes, employés indifféremment l'un pour l'autre en Analyse.

Si les axes de coordonnées sont obliques et font entre eux un angle \, il faut concevoir un système auxiliaire d'axes rectangulaires OÇ, Or\y d'où Ton passe au système oblique 0;r, Oy, En vertu des formules de transformation de coordonnées qui conviennent à ce cas, le déterminant fonctionnel de \ et de t„ par rapport à ^ et à ^, est égal à sinX. L'intégrale (16) devient alors

(16)' X= j j sinl dce dy = sinl j I dx dy,

ce que l'on peut encore écrire

(17)' A = sinX / f{x)dx.

Remarque. — Nous avons implicitement supposé l'ordonnée f{sc) positive entre ^0 ^t ^5 si elle était négative, on devrait, pour avoir une aire positive, la remplacer par sa valeur absolue — f{^)*

Si la courbe y =f(^x) traversait plusieurs fois l'axe des centre les ordonnées Xq et X, l'intégrale de la valeur algébrique de y, prise entre les limites Xq et X, représenterait la différence entre la somme des aires situées au-dessus de l'axe des oc et celle des aires situées au-dessous.

H. Aires polygonales, — On évalue d'abord l'aire d'un triangle rectangle en faisant f{x) = bxla^ Xo= o, X = a dans la formule (17). On trouve ainsi

. ab

a et b désignant les deux côtés de l'angle droit. On passe au cas

général en sommant deux triangles rectangles.

Pour le parallélogramme, on applique la formule (17/. Les

côtés a ei b faisant Tangle X, on pose f{x) = b^ Xo = o, 1L = a^

ce qui donne

A = ab sinX.

On est alors en mesure d'évaluer toutes les aires polygonales. R. i5

Cercle, — Pour évaluer l'aire du segment compris entre deux cordes parallèles x = Xq el ;r = X du cercle qui a pour équation

il suffit, d'après ce qui précède, de doubler l'intégrale positive

Jf y/à^ — x^dx = - I xJd^ — a?' -+- a' arc sin — 1 •

Avec ^0= ^j X = a, on trouve tzo^ pour aire du cercle entier. Ellipse. — L'équation de l'ellipse étant mise sous la forme

le segment d'ellipse compris entre les deux cordes x = Xq, x ■=^yi s'obtient en multipliant par b \ a l'aire du segment de cercle que nous venons d'évaluer; par suite, l'aire de l'ellipse entière est izab.

Hyperbole. — L'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes

étant mise sous la forme

le triangle mixtiligne SPM, qui a pour côtés rectilignes Taxe transverse SP et l'ordonnée PM (^ = X), pour côté curviligne l'arc de courbe SM compris entre le sommet et l'ordonnée X, est mesuré par l'intégrale

b.rz:^—r, b ^ j-^^—r, «^.-g^v'X»- a'

A = r -yjx^-a^ =—X y/K*-.:rSi- —loi

Or, le premier terme de A représente l'aire du triangle rectiligne dont les trois sommets sont M, P et le centre O de la courbe ; par suite, le terme logarithmique mesure l'aire du triangle curviligne OSM (secteur hyperbolique).

Si l'hyperbole est rapportée à ses asymptotes, son équation étant alors xy^^k^^ le trapèze curviligne formé par la courbe, l'asymptote O^ et deux ordonnées :r = ^Tq, ^ = X, a pour aire

f — ii:i' = A:*sinX log — i

A désignant l'angle des asymptotes. C'est à raison de ce résultat • qu'on appelle quelquefois logarithmes hyperboliques les logarithmes népériens.

Il importe de remarquer que si, laissant X constant, on faisait décroître Xq de manière à rapprocher indéfiniment l'ordonnée initiale de l'asymptote O^, l'aire A du trapèze hyperbolique croîtrait sans limite.

Parabole. — Soity^— ^ 2p^x l'équation d'une parabole rapportée à l'un de ses diamètres 0:r et à la tangente Oy à l'extrémité de ce diamètre. Le segment MOM', que détache de la parabole l'ordonnée ^ = X, a pour aire

y/ây a?2 = I sin X ^2p' X' ,

X désignant toujours l'angle des axes. Soit Y l'ordonnée du point terminal M. On pourra écrire

A=|xYsinX.

Mais 2XYsinX représente, on l'a vu, Taire du parallélogramme construit sur la corde MM'= 2 Y du segment considéré et sur l'abscisse X. Ainsi, le segment limité par un arc de parabole et sa corde vaut les deux tiers du parallélogramme construit sur sa corde et sur sa flèche (segment du diamètre conjugué de la corde, compris entre elle et la courbe).