Quand une courbe plane est définie par deux équations

qui en fournissent une représentation normale (Gh. I, n°* 1 et 2) au moyen d'un paramètre m, on peut se servir de cette variable auxiliaire pour évaluer l'aire

A= / ydx.

En effet, à chaque point de la courbe ne correspond, par hypothèse, qu'une seule valeur de u] soient Uq et U les valeurs qui correspondent aux extrémités du côté curviligne du trapèze. La

fonction f\{u) n'ayant qu'une valeur et admettant une dérivée f[{u) dans l'intervalle (i/o? U), on est dans les conditions exigées pour le changement de variable sous le signe d'intégration, et l'on peut écrire

(i8) A= r Mu)f[{u)du,

formule dont nous allons faire des applications.

Cycloïde» — Partons des équations connues (Ch. IV, n° 9)

X — a{u — smu)j y z=i a{i — cosu).

Nous aurons à calculer l'intégrale

X = a^ I (i — cosu^du.

Pour évaluer l'aire à partir de l'origine, qui est un point de rebroussement, jusqu'à l'ordonnée qui répond à l'angle U, on devra faire Uo= o et l'on aura

A = a*( -U — 2sinU-l- -sinUcosU ).

A l'extrémité de Tarcade, U est égal à 27r et A à Sita^. Ainsi, Vaire totale comprise entre une arcade de cycloïde et la base équivaut à trois fois Vaire du cercle générateur.

Courbes unicursales , — Pour ces courbes, f^ (u) eif2{u) sont des fonctions rationnelles; par suite, la quadrature de tout trapèze ayant pour côté curviligne un arc de courbe unicursale dépend de V intégration d^ une fraction rationnelle.

Soit, comme exemple, la cissoïde droite^ définie en coordonnées rectangulaires par l'équation

Elle a un point de rebroussement à l'origine, où la tangente est Taxe des x^ et admet pour seule asymptote réelle la droite x-=^ia. En posant j>^ = ux^ on trouve

lau^ laii^ , %a"U^du

Pour avoir toute la courbe, il faut faire varier u de — oo à + oo. Or l'intégrale

u^ du

est finie, parce que le numérateur de la fraction rationnelle est du quatrième degré, le dénominateur du sixième, et que, de plus, ce dénominateur n'a pas de racine réelle. En effectuant le calcul, on trouve que l'aire totale comprise entre la cissoïde et son asymptote est égale à S^ta^. C'est là unexemple d'une région qui, bien que s'étendant à l'infini, a une aire finie.