VI. — Aires des secteurs plans

13. Un secteur plan étant la portion de plan comprise entre une courbe et les deux côtés d'un angle, on est conduit, pour évaluer son aire, à employer un système de lignes coordonnées dont fassent partie les droites issues du sommet de l'angle. Tel est, entre autres, le système des coordonnées polaires. Des formules de transformation (3), on déduit

dx dy dx dy __ Ir 'd^~"d^ dr "^^

de sorte que l'intégrale (i6) devient

r dr û?ô.

Intégrant d'abord par rapport à r (n° 8) enlre les limites qui, pour chaque valeur de 6, sont respectivement o et le rayon vecteur r z=zf(y) de la courbe qui termine le secteur, nous aurons

(19) A=i / r^ûfô,

60 et étant les angles polaires des côtés rectilignes du secteur. Il faut naturellement, pour que cette formule ait un sens, qu'à chaque valeur de 6, comprise entre les limites de l'intégration, ne corresponde qu'une seule valeur de r.

23o CHAPITRE XI.

Considérons, par exemple, la lemniscate, qui, rapportée à son point double et à l'un de ses axes de symétrie, a pour équation

r* = a» COS26.

L'aire du secteur compris entre Taxe polaire, la droite 6 = et la courbe est mesurée par l'intégraJe

cos 2 6 û?6 = ^ sin 2 6.

Pour avoir l'aire entière comprise à l'intérieur de la courbe, il faudrait ajouter les deux intégrales

ir Bit

— / cos26û?8, — / cos2^ dBy a »/« 2 Jijz

le rayon vecteur r n'étant réel que pour les valeurs de 6 comprises entre les limites de chacune d'elles. Il revient au même de faire B

égal à j dans l'intégrale précédente et de quadrupler le résultat, ce

qui donne a^ comme aire totale.

14. Quand on connaît, pour la courbe qui limite le secteur, une représentation normale (Gh. I, n"* 1 et 2)

on peut transformer l'intégrale (19) qui mesure le secteur. Des relations (3) résulte l'identité usuelle

/•« d% = X dy — ^ dx, en vertu de laquelle l'intégrale A devient

(20) ^ — 7 f(^^dy—ydx).

Dans cette formule x Qi y sont supposés remplacés par leurs expressions en fonction du paramètre u\ leurs différentielles sont prises par rapport kù\ les limites de l'intégration sont les valeurs Wo et U qui correspondent, pour le paramètre w, aux limites 8© et de l'intégrale (19).

Ce qui précède s'applique notamment aux courbes unicursales, et conduit à un calcul un peu plus simple que l'emploi de la formule (i8). Reportons-nous, en effet, aux relations (8) et soient A', B', G' les dérivées de A, B, G par rapport à u» Pour évaluer l'aire d'un trapèze en partie terminé parla courbe unicursale (8), nous aurons à intégrer la fraction rationnelle

^ __ B(CA^— AGQ ^ du" G»

Pour l'aire du secteur, on devra intégrer celle-ci,

dy dx ArCB^-BGQ __ B(CA^— ACQ AB^— BA' ^ du ^ du" G3 G3 ~ G* '

dont le dénominateur est le carré du polynôme G, tandis que la précédente avait pour dénominateur G^.

IS. Voici encore une expression d'une aire sectorielle qui peut parfois servir. On a identiquement

•i r2 rfô = i r ^ /r2 + r'2 ^6 == i r sin V ds.

Nous avons mis en évidence le sinus de l'angle V que fait la tangente au point M (r, 6) avec le rayon vecteur (Gh. IV, n** 7) et la différentielle de Tare s terminé en M. Or le produit /'sinV mesure la longueur A de la perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente en M; d'où résulte la formule

(21) A =^ - j h ds,

que sa signification géométrique rend presque intuitive.

Appliquons-la au secteur compris entre la parabole y^ = npx, son axe SF et le rayon vecteur qui va du foyer F au point P d'ordonnée Y. Si j^ désigne l'ordonnée d'un point M de l'arc SP, la perpendiculaire abaissée du foyer sur la tangente en ce point a, comme on sait, son pied Q sur l'axe Oy, en un point dont l'ordonnée est la moitié dey. On a, par suite,

D'autre part, nous avons trouvé (n® 3), pour la différentielle de l*arc de parabole

P -^ Dès lors la formule (21 ) donne

ce qui fait connaître l'aire du secteur parabolique SFP.