VII. — Aires des surfaces courbes

16. Considérons sur une surface (S) une région fermée (R), à l'intérieur de laquelle cette surface ne présente que des points simples, et soit

une représentation de la surface, normale (Ch. I, n*** 5 et 6) au moins pour toute la région (R). A tout point de (R) correspond, en conséquence, un seul couple (m, p); et, en tout point de (R), l'un au moins des déterminants fonctionnels

'^'ujv »*'fy^a> Ju^v Jv^u* ^u'^'v *v*^u

est différent de zéro.

Nous allons inscrire dans la région (R) une surface polyédrale à faces triangulaires dont les sommets serojit ceux des mailles du réseau m= const., i'=const. ; puis nous sommerons tous ces triangles plans. Soient

M(w,p), Mi(aH- Aw, p), M2(a, p-h Ap), M'(w-4- Am, p -h Ap)

les quatre sommets d'une maille, supposés tous à l'intérieur ou sur le contour de la région.

Ils déterminent deux triangles MM^Mj et M'M|M2 dont nous ferons décroître indéfiniment les dimensions; mais on peut remarquer que, d'après nos hypothèses, chacune de ces facettes présentera un angle qui, étant celui des lignes coordonnées, ne tendra pas vers zéro (Ch. II, n° 14).

Évaluons mainlenant Taire T du triangle MMjM2; elle est égale (n** 11) au demi-produit de la base M<M2 par la distance du sommet M à cette base. En appliquant cette règle et appelant x^ y^ ^\ ^\t y\t ^\\ ^2j y^} ^2 'es coordonnées des trois sommets, on trouve, par les formules de la Géométrie analytique,

D'autre part, on peut poser

a?, — ip = «+ai)AM, yi—y = (yu-+-^i)^u, zi — z ={z'^-^ ^i)^u,

les termes a^, p,, y, s'évanouissant avec Aw, eta2, ^2? Y2 avec ^v. Par suite, il vient

ce qu'on peut encore écrire

aT = [}/{x'^y, - x'.y'^)'^ -i- ^f^,z',- y.z'^f -h {z'^x', - ^>'^)* H- s] Am Ap,

le terme s s'évanouissant avec A m et Aç?. Mais, d'après nos hypothèses, Texpression qui précède e sous le radical ne devient nulle en aucun point de la région (R). Elle est d'ailleurs identique (Ch. II, n** 13) au discriminant changé de signe de l'élément linéaire

de la surface (S). Si donc nous mettons 2T sous la forme

2T=(v/EG — F2-+-y))AmAp,

le premier terme entre parenthèses restera toujours fini, tandis que Y| tendra vers zéro en même temps que Am et A(^.

Pour avoir l'aire T' du triangle M'M^ M2, il faut, dans l'expression de T, remplacer EG — F- par la valeur que cette fonction acquiert au point M', c'est-à-dire pour les valeurs «/ + Am et V -{- ^v des paramètres. Par suite de la continuité de x^ y, z et de leurs dérivées par rapport à u, v^ iv, nous pourrons écrire

iV = (v/EG — F* -H Ti') tiu A(»,

234 CflÀPITRE XI.

le terme V tendant comme tj vers zéro en même temps que les accroissements Ai/ et A(\

Soit S la somme de tous les couples de triangles ï etT' découpés sur la région (R) ; nous aurons

Désignons maintenant par (G) la région du plan des us? qui correspond à la région (R) et faisons décroître indéfiniment toutes les mailles du réseau considéré. Il suit du théorème I (n® 8) que la somme S devient l'intégrale double

(512) A = r r /EG — F2 du dv.

Par définition, cette intégrale est traire de la région (R).

Sa valeur est indépendante du réseau qu'on emploie, pourvu que ce réseau jouisse des propriétés que nous avons attribuées au réseau (m, p). Soit, en eff'et, U\ = consl., k>\ = const. un autre réseau, donnant pour l'élément linéaire

ds"^ = El du\ -h 2F1 dui dvi -+■ Gi û?p}.

Si Ton se sert de ce réseau pour définir l'aire de la région (R), on arrivera à l'intégrale double

A, = r r /EiGi— Ff dui dv

la région (C<) correspondant à la région (G) précédemment considérée. Mais, d'après une propriété bien connue des déterminants fonctionnels, on aura

dx ày dx ày __ f àx dy dx dy\ / du âv du dç \ àux dVi dvi âui ~~ \du dv dv du) \dui dç^ dç^ du\j

et deux identités analogues, d'où résulte

V/ÊIGI^IFÎ du, rfP. = /ËG^^ (^^ %^ - ,^ ^ du, rfP..

On voit donc (théorème II du n** 8) que A| n'est autre chose que l'intégrale A, exprimée au moyen des variables u^ et ^i.

17. Ainsi la définition des aires courbes permet d'employer à leur évaluation tel système de coordonnées (m, i>) que l'on voudra, pourvu qu'à chaque point du lambeau de surface considéré (R) corresponde un seul point de la région correspondante du plan des wp et réciproquement.

Par exemple, si l'on fait usage des coordonnées cartésiennes rectangulaires (^, y^ z), il faudra qu'à chaque point de la projection (C) de (R) sur le plan des œy corresponde un seul point de cette région ; et, si l'on désigne par /?, q les dérivées partielles de z par rapport à ;r et à j^, la formule générale (22) deviendra

(23) A^ 1 I /i -+-/?* H- q^ dx dy.

Or le radical soumis au signe d'intégration est l'inverse du cosinus de l'angle V que le plan tangent à la surface au point (^,y, z) fait avec le plan des xy^ et dx dy est l'élément superficiel de ce plan. En se référant à l'énoncé transformé (n° 9) du théorème II du n° 8, on conclut, sous les conditions spécifiées ci-dessus : Pour évaluer l'aire d'une région (R), on peut projeter orthogonale ment cette région sur un plan, décomposer en mailles par un réseau curviligne quelconque Vaire projection (C) et sommer les aires de toutes ces mailles, divisées chacune par le cosirius de V angle que fait le plan de projection avec le plan tangent, mené à la surface en un point qui se projette à leur intérieur ou sur leur contour.

18. C'est le plus souvent en opérant ainsi qu'on arrive, par une décomposition convenable de l'aire projection (G), à simplifier le calcul de l'intégrale (28). Voici un exemple de ce procédé.

Soit à évaluer l'aire de la région (R) que limite, sur le paraboloïde

la courbe le long de laquelle la normale à la surface fait un angle constant co avec l'axe O 5. Dans le cas présent, l'équation de la surface donne

cosV

a 36 CHAPITRE XI.

La région (R) se projelte donc sur le plan des xy suivant l'ellipse

Découpons l'aire de cette ellipse (C) en mailles quadrangulaires par une famille d'ellipses similaires

g + g = tang>V,

où V variera de zéro à &> et par une autre famille de courbes, qu'il n'est pas nécessaire de définir.

Sommons tous les éléments de l'intégrale

dx dy

qui correspondent aux mailles comprises entre deux ellipses voisines V et V+ dN , Comme cosV a la même valeur pour toutes ces mailles, il suffit de multiplier son inverse par l'aire comprise entre les deux ellipses. Or l'ellipse V a pour aire totale T:ab lang^ V; l'aire annulaire que nous considérons, étant sa différentielle, a

pour expression

sIq V

dTzab tane* V = %tz ab -rr dW,

° cos^ Y

La portion de l'intégrale A qui correspond à cette aire est donc

sinV ^

iTz ab 7T7 dy,

cos* V

En sommant tous les éléments analogues qui correspondent aux valeurs de V comprises entre zéro et to, on trouve