AIRE DU FUSEAU ; ANGLE SOLIDE D'UN ANGLE DIÈDRE

On appelle fuseau la portion de la surface de la sphère limitée par deux grands cereles AB"A', AC'A', passant par les extrémités d'un

diamètre commun AA’. Le cône correspondant est formé par les deux plans passant par ce diamètre : son sommet est en 0. L'aire S du fuseau est évidemment proportionnelle à l'angle plan du dièdre C’OB”. Cet angle est égal à l'angle que font entre elles les tangentes menées en À aux deux grands cercles.

Aussi dirons-nous que l’aire du fuseau est proportionnelle à l’angle A.

" Qn: 2: : Sick KA‘ Pour A—27, l'aire du fuseau est c égale à celle de la sphère, soit 4x.

Le coefficient de proportionnalité Æ se trouve ainsi déterminé :’ À Eee. S — 2A.

Fig. 56.

Ainsi l'aire du fuseau est égale à deux fois son angle plan. Cela veut dire que, pour avoir cette aire, 1l faut multiplier par 2A l'aire du carré qui a pour côté le rayon de la sphère.

Il va de soi que À n'est pas évalué en degrés, mais en radians.

L'unité d’angle (radian) évaluée en degrés est 57° 1T 457( 65).

3. — AIRE DU TRIANGLE SPHÉRIQUE ; ANGLE SOLIDE LIMITÉ PAR UNE PYRAMIDE TRIANGULAIRE.

Considérons les trois fuseaux déterminés par les angles A, B, C, du triangle sphérique ABC. Admettons comme évident que le fuseau C peut être constitué par les triangles CAB et CAB’. On a :

fus À + fus B + fus C—1/2 sphère + 2 aire ABC.

D'où : aire ABC—(A+B+C)—7x.

La surface d’un triangle sphérique a pour mesure l’ercès de la somme de ses trois angles sur deux angles droits (excès sphérique).

Ainsi la surface de la sphère étant #7, la surface du triangle trirectangle {tel que serait ABC" si l'angle A était droit) est x : 2. D'autre part, ses trois angles sont droits: l’ercès sphérique “est 37: 2—7x—1x—x 2. Le théorème est vérifié.

Il résulte de là que la somme des angles d'un triangle sphérique est toujours supérieure à x. Pour que l'excès sphérique soit nul, il faut que l'aire soit elle-même nulle : le triangle est infiniment petit et assimilable à un triangle plan {$ 70, Remarque IT).