Pente d’une courbe. Angle d'une ‘droite avec les

axes.

1°. — Nous avons défini la pente de la courbe ADM au: u‘point A par le quotient dy:dx, qui est la limite du rapport DE: AK,

y B C à A a E / dx f do 5* 1 Yo de A6 æ 0 H N Fig. 8.

quand D :se rapproche indéfiniment ‘de À; :simultanément les points C et D tendent à se confondre.

On a donc : = = tg | (1)

| APPLICATION DES. IGNES rRIGONOMÉTIIQU UES

OMR ee à la tangente. deilanglea que. fait la tangente à la courbe avec l'axe des x (x n'est déterminé qu'à x près). On voit la nécessité de supposer la même échelle pour les deux coordonnées : l'équation (1) n’est exacte que dans cette hypothèse.

%, — Mesurons les arcs sur la courbe à partir d’une origine quelconque (); posons QA—s. Puisque les points B et C finissent par se PE ut le triangle curviligne ADE tend vers un triangle rectiligne rectangle: on à done

lim AD — lim AC'— ds. ds’ — dx? + dy?. (2)

Est-il besoin de dire que cette équation n'est exacte qu'à la limite? Si l’on considère les quantités ds, dæ, dy, non plus comme des infiniment petits. (c'est-à-dire. des quantités qui {endent vers Ü),-mais comme des quantités petites, même très petites, la relation (2) n'est qu'approchée. Elle l’est d'autant plus que les . quantités .sont plus

petites.

À la limite, on a exactement (pour un choix convenable de l'angle : hs

dx dy An PRET Er D PES (3)

:Enprenant .le quotient et.en additionnant les carrés, on retrouve bien les relations (1) et (2).