Division harmonique; propriété de la polaire

1°. — On dit que quatre points B, P, B', Q, forment une division harmonique quand le rapport des distances de B' aux points P et Q est égal au rapport des distances de B° aux mêmes points. Tenant compte des signes, on a :

Si l'on projette la droite sur une droite quelconque, par exemple sur l'un des axes de coordonnées, cette relation subsiste entre les projections des points B, P, B', Q.

X, — Soit x, y, les coordonnées de B; ©, x, les coordonnées de B’. Les coordonnées d'un point quelconque de la droite BB peuvent se mettre sous la forme :

: est un nombre quelconque variable de — à cc.

Pour «—0, on trouve le point B; pour &=>0, on trouve un point P° compris entre Bet B'; enfin, pour x positif et très grand, on trouve le point B'. Aux valeurs de x comprises entre 0 et —-1,

correspondent les points situés à droite du point B; pour 4—-—1, on passe de l'& à droite de B, à l'infini à gauche de B'; quand & décroît de —1 à —, on revient au point B.

3°. — Quatre points B, B', P, Q, forment une division harmonique, si leurs coordonnées sont :

Ty À A; 1. j = m7 TE, ES. a + à 1 — 2 1 — 2

- En effet, la relation (1), appliquée aux projections des points sur l'axe Ox, s'écrit :

(Haw— (etai) | (Ho — (ea) 6

( — x)e — (2 — à°) (L— x )E— (œ — aë)

qui est une identité. On obtient aussi une identité en considérant les projections sur Oy.

Quand nous doenmons à æ une série de valeurs, nous obtenons autant de couples: de points: P, Q; formant sur lx droite deux duwisions dont nous étudierons plus tard les propriétés (K 354, 4°). En

112 (COURS DE MATHÉMA TIQUES ÉNDURE)

particulier, pour %—1, nous obtenons le point P nie de BB'et le point Q à l'infini.

4. — Ceci posé, écrivons que les points P et Q sont sur un cercle de rayon r, dont, pour simplifier, nous prendrons le centre comme origine des coordonnées. Nous avons les conditions :

(ea) + (yen (1 apr, (æ is aë)° —+- (y— an)? = (1 Fran a)?r?.

Retranchons membre à membre, divisons par 44; 1l reste :

LE + yn =.

Cette relation doit exister entre les coordonnées x, y, du point B et les coordonnées =, , du point B' ($ 85). Donc une .sécante qui passe par le point invariable B est divisée harmoniquement par le point B, les intersections avec le cercle et l'intersection avec la polaire

du point B.

87. Puissance d’un point par rapport à un cercle. On appelle puissance d'un point B par rapport à un cercle, le produit (fig. 64) :

Mais on a : BA*=DBC 7 = (x — a} +(y—b} —r?.

Pour trouver la puissance, on substitue donc les coordonnées du point B dans l'équation du cercle mise sous la forme S—0, et où les coefficients (toujours égaux) de x? et y? sont supposés égaux à l’unité.

88. Axe radical de deux circonférences; corde d’intersection.

1°. — Cherchons le lieu des points P dont la puissance cit la même par rapport aux deux circonférences :

Si, —= 2? + y? — 2a,x — 2b,y + c, —0, S = 2? + y? — 2a,x — 2h,y + oc, —0.

D'après le paragraphe précédent, il faut écrire : S—S, 2x(a —a,)+2y(b, —b;) —(c;, —c) —0; æ et y sont les coordonnées d'un point du lieu cherché. Ce lieu est donc une droite qu'on appelle axe radical. | Il est évident que l'axe radical est normal à la ligne des centres. La pente de cette dernière ligne est p—(bh,— b,) : (a; — ai), tandis que, d'après l'équation précédente, la pente de l’axe radical est p——{(a,;—a,):(b;—b,); on a bien pp ——1 {($ 24).

PRÉ er RE T De

Pos À

AC

NOR S ge ou

| CERCLE. DÉVELOPPÉE ET DÉVELOPPANTES 13 2%. — Quand les cercles se coupent (fig. 65, à droite), l'axe radical coïncide évidemment avec la corde d'intersection. Prenons la question d’une manière plus générale. Les points d’intersection des deux courbes quelconques S,—0, S;—0, satisfont

Fig. 65.

simultanément à ces équations. Ils satisfont donc à l'équation S,—S,—0. Autrement dit, les trois courbes S;—0, S,—0, S,—S;,—0, ont les mêmes points d'intersection.

Dans le cas particulier des cercles, la courbe S,—S;—0, est une droite : donc c’est la corde d’intersection.

Le même raisonnement étant valable dans tous les cas, on est conduit à dire que l’axe radical est toujours la corde d’intersection; mais les points d'intersection peuvent être réels ou imaginaires

(fig. 65, à gauche).