Cercle osculateur

1°. — Les coordonnées de tous les points d’un cercle satisfont à

l'équation : (&— a) +(y— D} —p", (4) où a, b,p, sont des constantes. L'équation (1) établit entre x et y une relation qui doit être vérifiée identiquement pour tous les points

du cercle. Elle l’est, par conséquent , pour le point À de DO Mbn. nées æ, y, et pour le point D, voisin sur le cercle, de coordonnées

o+de, ydy (fig. 67) :

(&+ de — a) + (y+dy— =. (2) La combinaison de (1) et (2) donne (en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur) : |

qu’on obtient directement en dérivant (1) par rapport à x.

Fig. 67.

L'équation (3) établit une relation entre les-coordonnées d'un point du cercle et la pente de la tangente en ce point. Elle exprime que la normale au cercle pour un point de coordonnées x, y, passe par le point de coordonnées a, b, c’est-à-dire par le centre ($ 30).

Écrivons la même ratios (3) pour le point voisin, de coordonnées æ—+-dx, y—-dy. Inutile de recommencer un calcul analogue au précédent; nous obtenons le résultat en dérivant (3) par rapport à x :

dy \? d° | 1) +0 GE —0 (4) Résolvons (1), (3) et (4) par rapport à a, b, +; on trouve : “À ! d' EDS d° / = + (1 +y")7 : Y=Sr, y—= Tr; (6) qe * y ra (6 a et b sont donc connus sans ambiguïté en fonction de æ, y, y', y”.

Les résultats (5) et (6) ne nous apprennent rien de neuf : : ce sont pour le cercle de pures et simples identités.

2%. — Par le point A, menons une infinité de courbes y — f(x), telles que la pente y, calculée en ce point A, soit la même pour toutes : les courbes ont même tangente au point A. Elles sont indiscernables les unes des autres et indiscernables de leur tangente commune, tant qu’on se borne à considérer la pente y.

Supposons maintenant que ces courbes possèdent au point À, non seulement la même dérivée première y’, mais encore la même dérivée seconde y”. Elles sont indiscernables tant qu'on se borne à considérer les deux premières dérivées.

Interprétons géométriquement ce résultat et cherchons ce que toutes ces courbes ont en commun.

3°. — Parmi toutes ces courbes, considérons le cercle qui admet précisément au point À les valeurs y’ et y” imposées pour les deux premières dérivées. Les formules données ci-dessus permettent de calculer ses caractéristiques, c'est-à-dire les rayons et les coordonnées du centre. D’après ce que nous avons dit plus haut, toutes les courbes y—/f(x), sont indiscernables de ce cercle, tant qu'on se

orne à considérer les deux premières dérivées. Il peut donc servir à les caractériser autour du point A; il définit la pente et la variation de la pente; on l'appelle cercle osculateur.

Son rayon b est le rayon de courbure au point A.

L'inverse 1 :Lp mesure ce qu’on appelle la courbure.

Les coordonnées a et b définissent le centre de courbure.

On comprend le procédé. De même que pour définir la pente au point À, on remplaçait la courbe par une droite convenablement choisie, pour définir les variations de la pente au voisinage de ce point, on remplace la courbe par un cercle convenablement choisi. Le cercle est la courbe la plus simple ayant une pente variable.

92. Autre manière de calculer le rayon de courbure. 1°. — Soit C le centre de courbure; soit A, D, deux points voisins distants de l'arc ds (fig. 67).

Menons les normales en A et D; elles se coupent nécessairement au point C puisque le cercle se confond avec la courbe au voisinage du point A. Soit < l’angle de ces normales; on a :

pt ds.

Menons les tangentes en A et en D; elles font avec J’axe des x des angles 4 et 6. On a évidemment : :—3%— 2

Or : May", a — arctg y.

e est (au signe près) la variation de + quand on passe du point A au point D; on a (au signe près) :

— dax = d'arctg y.

à pe

. Effectuons l'opération indiquée ($ 60) :

du ! I . 191, me À AGE ER ET e—darctg y —y"dx : (1+y*);

ds | dx à KE CS D Us pt Vi Hy =E(RyT)s y.

C'est le résultat du paragraphe précédent. La quantité o n’est déterminée qu'au signe près :

nous pouvons convenir de la prendre toujours positivement ; nous verrons plus loin ($ 93) comment on détermine le côté de la courbe où se trouve le centre de courbure.

2%. — La même méthode donne facilement l'expression du rayon de courbure en coordonnées polaires. Reprenons les notations du $ 80.

Fig. 68. Il s’agit d'évaluer l’angle que font entre elles les tangentes en deux points voisins À et D (fig. 68).

En coordonnées polaires, on détermine d’abord l'angle x avec le

rayon vecteur qui est variable; d’où une très légère complication.

On a, dans le quadrilatère ODBA :

dô— (a+ da) + (rm —$8) +(r— a) —27, 6 — d8 + da.

rd rdô Car Man ga da— d . arctg an —d . aretg| r + 7 |

or”

Effectuons la différentiation indiquée :

da dr \? dr À. Ë dr \?

D (%) 7 0 |: + (a) dr

Vo HR RER dr \? dr \?

D'OR PME +) +) —r ar

3. — Nous utiliserons fréquemment la proposition suivante : Soit un cercle de centre C et sa tangente en O (fig. 69). On a :