Allures générales des développées

4°. — La développée présente un point de rebroussement sur toute normale qui correspond à un maximum ou à un minimum de la courbure pour la développante; il va de soi que cette normale est la tangente de rebroussement. On entend par là que la développée se compose d’ares qui ont un point commun sur la normale correspondante à un maximum ou à un mi- c nimum de courbure pour la développante, et qui admettent cette normale comme tangente commune.

Soit A'B'C'D’ la développée de la courbe ABCD.

Pour obtenir l'arc AB, nous déroulons un fil enroulé sur A'B et fixé, par exemple, en B'. Son extrémité À décrit la développante. |

Nous arrivons ainsi au point B où, par hypothèse, le rayon de courbure est maximum (courbure minima). Le fil doit maintenant s'enrouler; donc nous changeons d'arc sur la développée. Les deux ares A'B', B'C', admettent évidemment comme tangente commune la normale BB' menée à la développante en B.

L’enroulement du fil sur B'C' donne l’arc BC. Par hypothèse, en C le rayon de courbure est minimum {courbure maxima). Nous sommes alors forcés de changer non seulement d'arc de développée, mais encore de fil. Notre nouveau fil s’'attachera, par exemple, en D': nous le déroulerons pour obtenir l'arc CD de développante.

En définitive, nous obtenons une développante parfaitement continue, ainsi que sa pente et sa courbure, avec des arcs quelconques de développée, astreints seulement à être tangents entre eux à leurs extrémités, comme le montre la figure. Ces extrémités correspondent aux rayons de courbure maximum et minimum de la développante.

Il est clair que la pointe du rebroussement est tournée vers la développante quand le rayon de courbure est minimum; elle est tournée en sens contraire quand il est maximum.

2. — Les branches infinies de la développée sont de deux espèces.

Les unes correspondent aux points d'inflexion de la développante. Les normales à la développante en ces points sont des asymptotes de la développée.

Les autres correspondent aux branches infinies de la développante; elles n’admettent pas d’asymptotes. Quand la développante admet

Fig. 72.

(124 COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES une asymptote, nous connaissons sa tangente à l'infini, nous connaissons donc la direction de sa normale à l'infini et, par suite, la direction de la tangente à la développée; mais d'une manière générale cette connaissance ne nous avance en rien. 3°. — Dire que la développante a un point de rebroussement À, c'est | dire ni plus ni moins € qu'au voisinage de ce point, elle est formée N de deux branches qui y aboutissent et y ont une tangente commune AT. Mais les courbures de ces deux branches au point À peuvent être très différentes, parfois de signes contraires.

La développée a donc généralement deux points d’arrêts distincts, «, à, correspondant au G point À. Autrement dit, elle est formée de deux branches af, x'e, quis'arrêtent brusquement sur la normale AN menée à la développante au point A, et qui sont tangentes Fig. 73. à cette normale.

Comme cas particulier, 1l peut arriver que les Eerbures soient les mêmes et de même signe au point À pour les deux branches de la développante, auquel cas la développée possède, elle aussi, un point de rebroussement.