Propriétés particulières de la cycloïde

f°. — Évaluons le rayon de courbure de la cycloïde. Posons wt—10, pour simplifier l'écriture. On a : dx d ; 5 =R(1— cos Hey: 6 = R sin 0 = Y2Ry — y dy __V2Ry—y , /2R i dy EE dE =: y ar AUTRE ; dx? gs TE y? ?

Or on a (fig. 79) :

TQ = R’sin° 6 y? —2Ry — y? + y —2Ry.

Done le rayon de courbure au point Q vaut deux fois la distance TQ du point qui décrit la cycloïde,

au point de tangence du cercle [ ie \ générateur. | C 2%. — Il résulte immédiatement 4 de là que la développée d'une ÿ cycloïde est une cycloide égale. 0 T

Le point V appartient à la cycloïide OV engendrée par un point du cercle dont le centre décrit CS V et qui roule sur la droite OT".

En effet, le point V esten Oau ©}. S” début de l'opération; le point Q' diamétralement opposé est en 0".

On a :

arc QT — OT = arc Q'T'— OT. o T Fig. 79.

Le point (' décrit une cycloïde identique à OQ ; 1l en est naturellement de même du point V dia-

métralement opposé, au transport près de la longueur +R parallèlement à Oz.

3. — On déduit de ce résultat la longueur d'un are de cycloïde. La normale à la cycloïide OQ enveloppe la cycloïde OV.

Donc : arc VO—VQ—2TQ.

En particulier, la cycloïde entière est longue de quatre fois le diamètre du cercle générateur.