Épicycloïdes ; hypocycloïdes

Un cercle de rayon R roule sur un cercle de rayon r. On demande Cours de Mathématiques générales, — H. BOUASSE, | 9

l'équation de la trajectoire d’un point P situé à une distance. 3— CP, du centre du cercle mobile et entraîné par son mouvement (Gg. 80). Nous pouvons prendre pour variable l’un des deux angles: + ou: 6.

Fig. 80.

Ils sont reliés par l'équation qui exprime le roulement sans glissement : ra —= R6.

Les coordonnées du point C’ sont :

—(r + R)sin a, y =(r+R) cos a.

Les coordonnées du point P' sont:

œ— x —3ÿsin[r—(0+a)] = — 3 sin (0 La), y —= y +3 cos [r — (0 + &)] —y'— àcos (9 + x). — (r LR) sin à — à sin —1— TE œ,

—(r +R) cos — à cos —— in, L’épicycloïide est raccourcie quand je “a la figure 80 en représente une portion. | Elle est allongée et bouclée quand 5>R.

Les épicycloides sont fermées, quand mr—nR, où m ét n sont entiers. S'ils sont premiers entre eux, la courbe est obtenue après n tours du cercle roulant, accomplissant m révolutions autour du cercle

fixe.

1°. — Pour retrouver les formules des ‘cycloïdes, explicitons l’angle 6.

‘ RE . rHR.

—(r +R) nn han T4,

= (r +R) cos = — à cos ie 6.

Faisons r—o. Nous pouvons obhoes un les premiers termes du second membre le sinus par l'arc et le cosinus par l'unité ; dans les seconds termes du second membre, le coefficient de 6 dent l'unité. Il reste :

—(r+R) 93 sin 0 — RO — à sind, y—r—hR—3ùcost.

Ce sont les équations du $ 100.

3°. — HypocycLoipEs.

L'épicycloïde est intérieure ART le cercle de rayon R roule à l'intérieur du cercle de rayon r. On vérifiera immédiatement que son équation est obtenue en changeant R en —R :

æ—(r—R)sina— sin —5— a,

R ANDRE — HAE 4 R Les épicycloides intérieures sont aussi connues sous le nom d’hypocycloides.