Séparation des ellipses et des hyperboles

La séparation s'effectue en regardant si la courbe est limitée en tous sens (ellipses), ou si elle a des points à l’infini (hyperboles).

Pour que la courbe ait des points à l'infini, il faut qu’on puisse trouver des solutions de l’équation (4) qui correspondent à des valeurs simultanées très grandes de x et de y.

Considérons un de ces systèmes qui définit un point P. Joignons ce point P à l’origine O ; soit x l’angle que fait avec Oz la droite OP.

On a : L = tg a, mn te? x + 2p tg a +

Mais on peut négliger le dernier terme devant les trois premiers, puisque par hypothèse x est très grand.

Donc la courbe aura des points à l'infini (hyperboles), si l'équation du second degré en tg « :

m—+2ptgatntg a—0, (5)

a ses racines réelles. C’est dire qu'on a : p°— mn >> 0.

l' "APTE

La courbe est limitée ‘en tous sens (ellipses), :s1 les ‘racines de l'équation (5) sont imaginaires : p?— mn<T0.

GoROLLAIRE.

Si la courbe est centrée et a des points à l'infini, elle se confond à l'infini avec ‘deux droites qui lui sont asymptotes ($ 35). Autrement dit, ses points à l'infini sont sur deux droites qui passent par le centre par raison de symétrie; leurs pentes sont les racines tg «, tgæ, de l'équation (5). Au surplus, la courbe est rencontrée à l'infini par toutes les parallèles à ses asymptotes (K 25, 90).

REMARQUE LI

Dans le cas de la parabole {courbe non centrée), on a :

p°— mn—=0.

Opérant sur l'équation (1) comme nous l'avons fait sur l’équation (4), nous obtenons une équation (5) qui a ses racines réelles et égales. La parabole a donc des points à l'infini qui sont dans une direction unique. On l'appelle direction de l’axe de la parabole.

REMARQUE Il.

Supposons qu'en ramenant l'équation générale à la forme (4), on trouve {’—0. Les ellipses se réduisent à un point, l’origine, qui est centre de symétrie: æ—0,y—0. Les hyperboles se réduisent à deux droites non confondues passant par l’origine.

405. Changement des axes de coordonnées, l’origine restant le centre de symétrie.

1°. — Cherchons comment se transforme l’équation : me + ny° + 2poy +60, (4)

quand on remplace les axes (supposés rectangulaires) par d’autres axes rectangulaires faisant avec les premiers l'angle 8 ($ 78). Il faut effectuer dans l'équation (4) la substitution linéaire : æ—x cos0 — y'sinb, y = x sin 6 +y' cos 6.

On trouve : mir +-in y} 2pry + l—0; m'— m cos? 6 — n'sin° 6 + 2p sin 8 cos 0, n'—= m sin? 0 + n cos? 6 — 2p sin 0 cos6, p—=—{(m — n) sin 6 cos 6 + p(cos? 6 — sin? 6). On vérifiera immédratement les relations :

mn —m}n, p?—mn—p—mn.

Ces quantités sont des invariants; on exprime par là qu’elles ne sont pas modifiées par les changements d’axes. Nous étions déjà certains que le signe de la seconde ne pouvait changer, puisqu'il définit Ja nature de la courbe. |

%. __ Écrivons maintenant la condition p'—0.

Ona: 2sinbcos0—sin20, co$ 6 — sin? 6 — cos 2 ;

D'où : À nn À ty 29 =? (6)

Or, la tangente pouvant prendre toutes les valeurs de — © à Lx, nous sommes assurés de trouver un angle 20, par suite un angle 267, qui satisfont à l'équation (6). Nous déterminons donc deux angles 6 et 91r:2 qui annulent p'. Autrement dit, il existe deux systèmes d’axes rectangulaires, eux-mêmes rectangulaires entre eux, pour lesquels l’équation générale se ramène à la forme :

m'a ny? +l'—0.

Si alors m'et n° sont de même signe, la courbe est une ellipse ; s'ils ont des signes contraires, c’est une hyperbole. Remarquons que deux systèmes d’axes rectangulaires rectangulaires

entre eux ne définissent que deux droites rectangulaires ; l'axe Ox de l’un des systèmes se confond avec l'axe Oy de l’autre.