Réduction dans le cas des paraboles

Dans le cas des paraboles, les termes du second degré en x et y constituent un carré parfait (KS 104, rem. I). Mettons l’équation sous la forme :

(Az By) ge 28y +1 — 0. | . Faisons le changement d’axes. Le terme entre parenthèses devient : z'(A cos 0 B sin 6) —y'(A sin 6 — B cos 6).

Par un choix convenable de l’angle 6, il est possible d'annuler le coefficient de x’ ou celui de y'. On a les conditions :

A B Bu: tu 0, — À; te 6, tg 0, ——1.

Nous définissons ainsi deux systèmes d'axes rectangularres, rectangulaires entre eux:

On peut donc ramener l’équatien des paraboles arbitrairement à l’une des formes :

m'a? + 2q'x + 2s'y Lt —0, n'y? + 2qg'x +2sy +Lt—=0. Rien n'empêche maintenant de transporter l'erigine en un point de

coordonnées a.et b. Nous profiterons des deux arbitraires pour ramemer l'équation à l’une des formes

m'a? '2q'y —0, n'yÿ° + 2s"x — 0.