Équation et propriétés générales

Conformément aux paragraphes précédents, l’ellipse est une courbe dont, par un choix convenable de l’origine des coordonnées et de la

6 — anomalie vraie, u = anomalie excentrique.

OA — a, OB — b, Rev:

e = excentricité — OF : OA.

Fig. 82.

direction des axes (supposés 1e1 rectangulaires), l'équation prend la forme : |

Nous poserons ab; a est le demi grand axe OA (fig. 82), b le demi petit axe OB. Nous écrirons :

c— a — }°; D LS a ad e est l’excentricité.

Les points F et F° qui sont sur le grand axe à une distance +c de l'origine, sont les foyers.

La courbe est symétrique par rapport à Ox, puisque, pour la même valeur de +, l'équation est satisfaite pour deux valeurs égales et de signes contraires de y. La courbe est symétrique par rapport à Oy, puisque, pour la même valeur de y, l'équation est satisfaite pour deux valeurs égales et de signes contraires de +. Le point O est un centre

| SECTIONS CONIQUES FEAT

de symétrie, puisque l'équation, satisfaite pour les coordonnées x, y, l’est aussi pour les coordonnées — x, — y.

On peut considérer l’ellipse comme la projection d'un cercle de rayon a, ayant en commun avec l'ellipse les points À et A' extrémités du grand axe, et dont le plan Il fait avec le plan IT de l'ellipse un angle dont le cosinus est D : à.

Les droites du plan [IT parallèles à Or se projettent en vraie grandeur sur le plan II. Les droites du plan Il parallèles à Oy ont sur Il des projections qui leur sont plus petites dans le rapport D: a.

La figure 82 montre le cercle supposé rabattu sur le plan II.

Un point p du cercle est défini par l’angle u, qu'on appelle anomalie excentrique. Ses coordonnées sont :

aCoOSU, asinu.

Après projection sur le plan de l’ellipse, on a pour le point P correspondant à p :

b x —a cos u, y—=(asnu)—hsinu.

Le système : TX — 4 COS U, y = b sin u, (IT) définit l’ellipse au moyen de la variable auxiliaire u. À chaque valeur de cette variable correspond un système de valeurs de x et de y,

c’est-à-dire un point de l'ellipse. Éliminant u, on retrouve l'équation (1).