Théorèmes d’Apollonius

1°. — Puisque deux diamètres (droites passant par le centre de symétrie) conjugués de l’ellipse sont les projections de deux diamètres rectangulaires du cercle, les points où ils coupent l’ellipse corres-

pondent à deux valeurs u, u', de l’anomalie excentrique qui diffèrent de #*x:2.

Ils ont donc pour coordonnées :

T — 4 COS U, y—bsinu;

x —asinu, y —=—b cos u.

Les pentes des diamètres correspondants sont :

y b y b p=iga—" —tg8u, p'=tg B— Ÿ———cotgu.

D'où la relation : PP =— a D. — Fhpoons a et D les demi- -longueurs des diamètres conjugués. On a :

a? = x? + y? — a? cos? u + b? sin? u Pr x? Ly?— a? sin? u + b? cos? u.

Additionnons membre à membre :

a? br — a }?.

La somme des carrés de deux diamètres conj ugués esl constante.

Elle est égale à la somme des carrés des axes qui sont évidemment deux diamètres conjugués.

3. — Calculons le sinus de l’angle 4 que font deux diamètres conjugués. On a : Y—ax—6f.

5 SON b sin u __ bsinu

VILtg> Vatcos®uEhsimu

Sin @ —

On trouve de même aisément :

aCcosUu b cos u a Sin u GONG EE TERRES BR PT TT) COS = pr 7e D'où : sin —sin (4 — 6) — ab : a'b'; | a'D' sin — ab.

L’aire du parallélogramme ($ 68) construit sur deux diamètres conjugués est constante. Elle est égale à l'aire du parallélogramme

construit sur les axes.

Les deux dernières propositions sont connues sous le nom d’Apol-

lonius.