Mobile se déplaçant sur une ellipse

1°. — La courbe exprimée au moyen de la variable auxiliaire u : æ—acosu, y—bcos(u —à), FN € à est encore une ellipse. En posant 3—7x:2, on retrouve la forme

utilisée au K 107.

EÉliminons u entre les relations (1) :

y —= b cos à cos u + b sin à sin u,

À © cos à — sin à LL — —.

Élevons les deux membres au carré, : vient :

&° 2x 5" 2er A cos à + DE —

C’est une ellipse, mais qui n’est plus rapportée à ses axes.

2, __ Posons que la variable u varie proportionnellement au temps. Les équations (1) expriment donc, non seulement que le mobile de coordonnées x, y, décrit une ellipse, mais encore qu'il la décrit suivant une certaine loi. Nous montrerons plus tard que Les aires balayées par le rayon vecteur qu joint le centre de Fellipse au mobile, varient proportionnellement au temps (loi des aires, K 175).

Le tour d’ellipse est effectué dans le temps nécessaire pour que la variable u augmente de 2x.

Posons : UE s T est la période.

Le paramètre à spécifie la position du mobile à l’origine des temps ; c’est la phase (K 52).

Si 3—0 our, l'ellipse s’aplatit en une droite qui passe par l’origine des coordonnées : la vibration est rectiligne.

Si à—7Tr:2, ou 3r:2, l’elhipse est rapportée à ses axes.

D'une manière générale, les formules du K 105 permettent de calculer la position des axes.

3°. — Chacune des équations (1) représente une vibration sinusoidale ($ 52). Considérons les n mouvements :

Li —= à, COS (u — u), Yi = b, cos (u — $,); T3 — 3 COS (U — %2), Ya = b, cos (u — f;);

Chaque système représente une ellipse de la forme :

Nous avons démontré que la somme dx des mouvements vibratoires sinusoïdaux dirigés suivant Ox est elle-même un mouvement

sinusoïdal ($ 53) ; y est aussi un mouvement sinusoïdal. On a donc identiquement :

T—= LT, + Le +... —M cos (u — vu), Y—= Yi yes +... =N cos (u — y).

D'où la proposition suivante : Considérons des ellipses de même centre, de même période et décrites isolément suivant la loi des aires.

Quelles que soient les phases respectives des mobiles sur chacune d'elles,

si on compose à chaque instant tous les déplacements, on obtient un mouvement elliptique décrit lui-même suivant la loi des aires. Le mot composition est pris au sens géométrique ; on obtient les coordonnées du déplacement résultant en ajoutant respectivement les abscisses. et les ordonnées des mouvements composants.

re | COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES AR ie

Ce théorème a une interprétation mécanique très simple ; son | importance est capitale en Optique.

115. Somme d’ellipses de même centre, de mêmes directions d’axes et dont les axes sont dans un rapport donné.

Le théorème précédent ne suppose rien sur les positions relatives des axes des ellipses composantes. Admettons maintenant que les ellipses concentriques ont mêmes directions d’axes, et que leurs axes sont dans le même rapport. Prenons Ox et Oy comme directions des axes; nous pouvons leur donner les équations :

Li — à, COS (u — à), Yi —= ka, sin (u — «);

Le — 8, COS (u — &), Ya = ka, sin (u — &:) :

On vérifiera que l’ellipse résultante est elle-même de la forme : xæ—M cos(u — y), y —=kM sin (u — y),

quelles que soient les phases 4, @, ….

Ce théorème est fondamental dans l’Optique du se