Diamètres conjugués

Reprenons la théorie des diamètres conjugués par une méthode

directe. Soit :

ma ny = 1, (4) une conique à centre. Coupons par la ligne :

y =pTr +. (2)

PONT Ty À 1

| SECTIONS CONIQUES or.

"Élininons successivement y et x entre Le équations (1) et (2). Nous obtenons les coordonnées des points d’intersection P, Q, au moyen d'équations du second degré. On trouve (fig. 91) :

LT m np? ; mg :

de Tam LR

Il est clair que les coordonnées du point M qui est à égale distance des points P et Q, sont x’ et y’. Le point M se trouve donc sur une droite OM passant par l'origine et dont la pente est :

MN a rs der np ? PP — n° à (3)

Or q a disparu de la relation (3); donc toutes les cordes C parallèles à (2) sont coupées en deux parties égales par une droite, passant évidemment par l’origine qui est un centre; cette droite D’ est appelée diamètre conjugué des cordes C.

La relation (3) étant symétrique en p et p', les cordes C' parallèles à D’ sont coupées en parties égales par le diamètre D parallèle aux cordes C.

La formule (3) contient comme cas particulier la formule du

$ 111, 1°. Appliquée à l’hyperbole, elle donne : Me a Les asymptotes peuvent être considérées comme des diamètres conjugués superposés ; on a alors:

Dep at D : a; REMARQUE Toutes les hyperboles :

——u— mme mm —— Q

ont mêmes asymptotes et mêmes systèmes de diamètres conjugués. Elles représentent, si l’on veut, la même hyperbole construite à des échelles qui croissent à mesure que Æ? augmente. En particulier, l’une de ces hyperboles (échelle infiniment petite) se confond avec les asymptotes : celles-ci admettent donc le même système de diamètres conjugués que l’hyperbole.

Le segment P'Q" est coupé en parties égales par le point M, tout comme le segment PQ.