Parabole comme limite de l’ellipse ou de l’hyperbole
1°. — La parabole est la limite d'une ellipse dont une des extrémités du grand axe A' et le foyer F' restent fixes, et dont le centre O s'éloigne indéfiniment (fig. 95 à gauche).
Transportons l'origine des coordonnées en A'. L'équation de
l’ellipse devsent'($ 34) :
x — a} Le 2p? b?x° | | DR daeus, De 2 ee sis | (4)
Écrivons que le foyer est fixe. Posons donc : / b°
AF = —a ca VF = 4 .
Pour que A'F' reste constant, il faut que b et a croissent simul-
Fig. 95.
tanément de telle sorte que D°:a reste fini, et par suite que b° : a? tende vers 0. On a alors ($ 12):
a La + — à 1—(1— 5) = —=$.
L’équation (1) se réduit à : y?—2px.
2. — La parabole est La limite d’une hyperbole dont une des extrémités de l’axe réel À et le foyer F voisin restent fixe, et ape le centre O s'éloigne indéfiniment (fig. 95 à droite).
Transportons l’origine des coordonnées en À. L'équation de l'hyperbole devient :
ht, et
Écrivons que : foyer est fixe. Posons donc :
ee | SE à ui
Le même raisonnement que plus haut réduit l'équation (2) à :
y°—2pr, quand 2 croît indéfiniment.
J. — Toutes les propriétés de le raie peuvent se déduire comme limites des propriétés de l’ellipse ou de l'hyperbole.
Ainsi tous les diamètres de ces courbes passent par le centre; donc, le centre allant à l'infini, tous les diamètres de la parabole sont parallèles à l'axe.
La tangente à l'ellipse ou à l'hyperbole au point P fait des angles égaux avec les droites qui joignent le point P aux foyers. L'un des foyers allant à l'infini, la droite correspondante devient parallèle à l'axe; d'où la proposition du $ 125, 2.
L'ellipse est le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante; l’hyperbole est le lieu des points dont la différence des distances à deux points fixes est constante. On vérifie immédiatement qu’à la limite ces propositions donnent la suivante : la parabole est le lieu des points également éloignés d’un point fixe et d'une droite ($ 124, 3°).
Démontrons pour l'ellipse : la démonstration est semblable pour
l'hyperbole. Quand le foyer F va à l'infini (fig. 95), sa distance: FP+PQ=r—+d,
à une droite à quelconque normale à Ox, devient constante pour
toutes les droites FQ qui passent par les points P à distance finie sur
la parabole. Simultanément FPQ devient normale à la droite 3, puisqu elle devient parallèle à Ox.
Mais on a toujours : br æC".
Des deux conditions précédentes, on tire :
En choisissant convenablement la droite à, on annule la constante. Il suffit évidemment de lui donner une abscisse égale et de signe contraire à celle du foyer F° : on définit ainsi la directrice A.
On remarquera que l’ellipse est le lieu des points également distants d'un foyer F' et du cercle décrit de l'autre foyer F comme centre avec un rayon 2a. On définit ainsi un cercle directeur qui devient la directrice À quand F va à l'infini.
