Définition des courbes enveloppes

1°. — Soit une fonction égalée à zéro: f(æ,y,p)—0, (4) où entrent les coordonnées x, y, et le paramètre p. Pour chaque valeur de p, l'équation (1) représente une courbe ; d’une manière générale, elle représente un faisceau de courbes. Autrement dit, (1) représente une courbe qui se déplace dans le plan, généralement en changeant de forme. |

Par exemple, l'équation : ay —=p?, | représente un faisceau de cercles concentriques, dont le centre est à l'origine des coordonnées et dont le rayon est p;

y —=ar + p,

où p est le paramètre variable, représente un faisceau de droites parallèles. Dans ces

deux cas, le faisceau " T, T, recouvre tout le sn plan. | 2.— Mais il ar- rive que le faisceau , È ne recouvre qu'une À k % ] partie du plan, qui est ainsi partagé en a Lu deux régions parune s, $,

courbe, enveloppe des courbes du faisceau. Ces courbes recouvrent la portion du plan qui est d'un côté de l'enveloppe, et respectent la portion qui est de l’autre côté.

Fig. 97.

Par exemple : (æ— p} +y = 7r?, (2) représente un faisceau de cereles dont le rayon est invariable et dont les centres occupent tous les points de l'axe Ox. La courbe enveloppe se compose évidemment de deux droites, parallèles à Ox et d’ordonnées (fig. 97) : tr.

3°. — Les courbes enveloppes, telles que nous les avons définies, jouissent de deux propriétés quasiment évidentes. D'abord elles sont tangentes à toutes les courbes du faisceau. Cette propriété résulte de ce que l'enveloppe leur est extérieure, tout en ayant avec elles un point commun ; il y a donc tangence en ce point.

En second lieu, on peut considérer l'enveloppe comme le lieu des intersections successives des courbes du faisceau qui sont dites enveloppées.

Par exemple, quand le cercle C, se rapproche indéfiniment du cercle C,, leur point d'intersection R se confond à la limite avec les points T, et T, : 1l est sur l'enveloppe.

#4. — L'équation de l'enveloppe se déduit immédiatement de là. Deux courbes voisines du faisceau correspondent à deux valeurs p et

p—-dp du paramètre ; elles ont les équations :

Ô Y3 S—f(e,y,p)=0, S=f(e, y, p) + LEE) gp 0

Le point d'intersection se trouve sur la nouvelle courbe ($ 88, 2°) : | of S3 — Si = 0, dDp — k (3)

Par exemple, le point d'intersection d’un cercle du faisceau (2) et du cercle voisin se trouve sur la courbe :

Mr Panel fe —p)=0, ep, c'est-à-dire sur la droite T,S, menée par le centre O, parallèlement à Oy. G

En définitive, pour trouver le lieu des intersections successives, il faut éliminer le paramètre p entre . équations :

f(x, y, p)=0, TTC y, p)—=0.

3°. — Pour éviter toute us “ propos des définitions précé-

dentes, considérons la cubique 3y—x, dont le centre O se déplace suivant la bissectrice des axes (fig. 98)

3(y —p)=(&—p}. FA:

Cherchons l'enveloppe. Dérivons (1) par rapport à p; élimmons p entre (1) et l'équation obtenue : |

ep ri, A na te (2) Ainsi (ce qui était évident a priori) l'enveloppe se compose de

en deux points d’abscisses +2 :3.

Contrairement à ce que nous avons dit, il semble donc que le plan n'est pas partagé en deux régions : l’une balayée par les courbes du faisceau, l'autre intacte. La règle réapparaît exacte si

Fig. 98.

nous observons que les branches infinies de la cubique ne jouent aucun rôle dans la recherche de l'enveloppe : nous pouvons limiter la courbe en B et B' sans y rien modifier. Il sera donc entendu que nous ne prendrons des courbes que les portions nécessaires à la définition des enveloppes considérées.

Pour en finir avec notre exemple, le point de tangence qui appar-

tient à la courbe (1) et à son enveloppe (2) a pour abscisse : ; | R à 130. Mouvement des projectiles; parabole de sûreté. Mirage. | 1°. — Considérons un mobile qui se meut dans un milieu non résis-

Dis AN | tant. n Se avec une rh V: la Re dé vire fie Pièle & avec

Dore l’horizontale. La composante horizontale de la vitesse est uniforme ; LÈEMER la composante verticale est uniformément retardée. LS On a donc (fig. 99) :

ne ; SA Â æ—Vcosa.t, y—Vsna.t—sge. (4)

Éliminant le temps entre ces équations, on trouve la trajectoire pares

y = & tg a — SV À (2)

Recommençons l'expérience avec la même vitesse initiale V, mais

Pr ag

Fig. 99.

en donnant à l'angle « successivement toutes les valeurs possibles. Nous définissons un faisceau de paraboles : cherchons leur enveloppe. Dérivons (2) par rapport à &«. On trouve après des réductions aisées :

tga==V?:1(9x), a VV: (giga). (3) Le point d'intersection de la parabole (2) et de la verticale (3) est le point où la parabole touche son enveloppe. Éliminons z entre (2) et (3). Il vient :

+ n La FM CAN C'est une ES dite de sûreté.

Pour M0 De Nr;:29;: | y EN, MN 02.

Il est impossible d'atteindre les, points qui sont au-dessus de la parabole de sûreté ; on peut, au contraire, atteindre de deux manières

région accessible passent deux courbes du faisceau (2).

2. —— On retrouve exactement le même problème dans la théorie des rayons lumineux courbes et du mirage. Une loi simple de variation de l'indice de réfraction fournit des rayons paraboliques qu'on peut ramener à la forme (2), ou à la forme équivalente :

a? — ay = a(x sin 24 — y cos 2x); 4 définit encore la tangente à l'origine. L'équation de l'enveloppe est :

Par tout point compris dans cette parabole passent deux trajectoires lumineuses : c'est à cette circonstance qu'est dû le mirage.

131. Enveloppe d’une droite de longueur / constante qui s'appuie par ses extrémités sur deux droites rectangulaires. On peut prendre la droite sous la forme (fig. 100) : y—=xtg6—+isin6; (1) 6 est le paramètre variable.

Dérivons (1) par rapport à 0:

æ——lcos’0. (2) Il faut éliminer 0 entre les équations (1) et (2).

Elevons les deux membres de (1) au carré ; remplaçons æ par sa valeur tirée de (2); on trouve a1sément :

y5— 1% sin’.

ÏS

Remplaçons sin? 6 par sa

valeur tirée de (2); on à :

à T F » À À F1 cos” 0 — 7) : et enfin : xi—Lys—l3.

Nous avons déjà rencontré cette courbe au K 102, sous le nom d’hypocycloïde à quatre rebroussements. On peut la considérer comme la projection de la développée de l’ellipse (fig. 88) sur un plan passant par le grand axe et convenablement. incliné. Elle est représentée fig. 101.

132. Enveloppe d’une droite qui détermine avec les axes un triangle d’aire constante. Généralisation.

1°. — On peut mettre l'équation de la droite sous la forme : = RP. (4)

Pour z—0, ona y—p; pour y—0, DS: pe Le pro-

Fig. 101.

duit constant xy—S, représente le double de l’aire du triangle. Dérivons par rapport à p :

D S x 2x. (2) Éliminons p entre (1) et (2); il vient :

zy =S : 4;

l'enveloppe est une hyperbole équilatère.