Remarque sur les enveloppes

1°. — Dans tous les exemples que nous avons traités, un point R quelconque de la portion du plan que recouvrent les courbes enveloppées, se trouve sur deux de ces courbes C,;et C,;. Parcourons cellesci toujours dans le même sens. Si pour C, nous rencontrons d’abord le point de tangence T, avec l'enveloppe, ensuite le point R, c'est l'inverse pour C, : nous rencontrons d’abord le point R, ensuite le point de tangence T, avec l'enveloppe.

Cette disposition est nécessaire pour que, les deux courbes se rapprochant indéfiniment, les trois points T,, R, T;, finissent par se confondre.

Résolvons l'équation f(x, y, p}—0, par rapport à p. Soit :

p = (+, y), | la solution. D'après ce qui précède, il faut que pour le même système de valeurs x, y, le paramètre ait deux valeurs différentes. Ces valeurs deviennent égales précisément si le point x, y, est sur l’enveloppe. On comprend maintenant le résultat énoncé au & 132. Par exemple, pour le cercle (2) du $ 129, on peut écrire :

pp.

Soit æ, y, les coordonnées d’un point compris dans la bande

accessible ; 1l existe deux cercles qui y passent; ils correspondent aux paramètres :

Pit y ie pc Vi — y.

Pour obtenir le point de l'enveloppe, on doit poser : Pi — De, 7 — = r.

2. — Tout ce que nous avons dit, s'applique aux tangentes d'une

courbe. On peut les considérer comme les enveloppées de cette courbe qui devient l'enveloppe de ses tangentes. La courbe limite la région

du plan que ne peuvent recouvrir les tangentes. D'un point extérieur R suffisamment voisin, nous pouvons généralement mener deux tangentes qui touchent la “courbe en des points T, et T, situés de part

et d'autre de R.

3°. — Démontrons analytiquement cette propriété des tangentes. Leur équation générale s'écrit ($ 30) :

LE Y—N <-dn dé dn ve ae q

où æ, y, sont les coordonnées courantes :

Les quantités £,n, et par suite dn:d£ sont fonction d'un paramètre p. Nous pouvons en effet définir la courbe par les relations :

£=o(), n=x(p) du: dé=w(p) (2) Différentions (1) par rapport au paramètre :

db dE di d (x — 4 dp MAT dp? ou (x —E £) D — EE | À

en vertu des relations (2). | Si db:dp n'est pas identiquement nul, nous devons poser :

mer et, en vertu de (1) : YEN.

L’enveloppe des tangentes est la courbe (2) elle-même. La conclusion n’est plus exacte si l’on a identiquement :

F=0 des Map À na +.

La courbe proposée est une droite avec laquelle se confondent ses tangentes.