COROLLAIRE

L'enveloppe des normales à une courbe est la développée de cette - courbe. En effet, toutes les normales sont tangentes à la développée ($ 95). Ce corollaire présente un grand intérêt, car pratiquement on forme l'équation de la développée en la considérant (non comme le lieu des centres de courbure), mais comme l'enveloppe de la normale.

135. Courbes roulantes. | 1°. — Imaginons une courbe + qui se déplace dans le plan sans se déformer (fig. 102). Dans sa position ABCDA, elle a par rapport

aux axes Oz, Oy, les équations :

œ—f(s), : y—=F(s). (4) s est l’arc de courbe compté à partir du point A, par exemple, dans le sens ABCD.

Les équations (1) donnent la forme de la courbe (par élimination de s); elles permettent aussi de repérer les différents points par leurs distances à l’un d'eux comptée sur la courbe même.

Déplaçons la courbe et simultanément les axes de coordonnées ;

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GÉNÉRA LITÉS SUR LES CO URBES | 165

elle vient en A,B,C,D,A;, tandis que les axes vont en O,r,, O,y.. Nous avons évidemment encore : ‘. Fe | t—=/f(s), : y —(s), (2) puisque rien n’est changé, sinon la position absolue dans l’espace. Soit alors a, b, les coordonnées du point 0,, et 4 l'angle que

fait Or, avec Ox. Les formules de transformation du $ 78 donnent : æ, +a—xcost+ysin6,

Yi + b—=— x sin 6 + y cos 6.

Les équations (2) deviennent :

æ cos 6 — y sin0 — a — f(s), (3) — x Sin 0 + y cos 0 — b—F(s).

Telles sont les équations les plus générales d’une courbe qui se déplace dans un plan sans se déformer. Les quantités 0, a, b, sont fonctions d’un paramètre p qui est l'opérateur du déplacement.

Nous pouvons déterminer l'enveloppe des courbes dans leur déplacement. Si la courbe est fermée (ce qui est le cas des figures 97 et 400), l'enveloppe possède généralement deux branches limitant une portion du plan.