Courbes caustiques

Le point lumineux $S émet des rayons qui rencontrent une courbe \ à / ABC. Ils se réfléchissent en faisant | avec la normale à la courbe un angle | x de réflexion égal à l'angle d'incidence. & y On appelle ligne caustique la courbe à enveloppe desrayonsréfléchis (fig. 104).

Nous n’étudierons pas les caustiques dans cet ouvrage : ce serait faire double emploi avec le Cours d'Optique géométrique (Physique, IV.

Fig. 104.

Déplacement d'une figure invariable.

138. Déplacement fini dans son plan d’une figure invariable plane.

On peut transporter dans son plan une figure invariable d’une

position F à une autre position F' quelconque au moyen d’une rota-

tion (fig. 105).

Réduisons la figure dans sa position F aux deux points A et B. dans sa position F' aux deux points A et B'.

B Joignons AA', BB’. Élevons des perpendicubei laires au Silien de ces droites : elles se couco pent au point C. On a :

è , AB—A'B, par hypothèse; nr 72 Re AO AC BC—B'C, par construction.

NE Les triangles ABC, A’B'C (dont on tracera B les côtés) sont égaux. Au moyen d’une rota- Fig. 105. tion de centre C et d'angle :

ACA"— BCB'— BCA + ACB'— B'CA'+ ACB,

on peut donc amener la figure de sa position F à sa position F.

139. Déplacement continu dans son plan d’une figure plane. Centre instantané de rotation.

Considérons une figure se déplaçant d’un mouvement continu dans son plan. Autrement dit, soif deux plans : l’un fire, l’autre mobile, que nous déplaçons sur le plan fire.

Pour que le plan mobile passe de la position F, à la position très voisine F,, nous devons, d’après le paragraphe précédent, utiliser une rotation infiniment petite autour d’un point C, du plan fixe ; C, s'appelle le centre instantané de rotation relatif à la position F, du plan mobile.

Pour que le plan mobile passe ensuite de F, à F,, de F, à F,..., nous devons utiliser une série de rotations infiniment petites autour d'une série de points C;, C;,... qui forment une courbe continue C dans le plan fixe : c’est le lieu dans ce plan des centres instantanés de rotation.

Pour chaque position du plan mobile, marquons sur lui le point qui coïncide avec le centre actuel de rotation (point par conséquent actuellement immobile). Le lieu de ces points forme sur le plan mobile une courbe continue l', que nous retrouverons plus loin.

Du paragraphe précédent résultent des corollaires évidents.

1°. — Les normales menées au même instant sur les trajectoires de tous les points du plan mobile, passent par le même point du plan fixe qui est le centre instantané de rotation pour la position considérée du plan mobile.

2%. — Les arcs élémentaires décrits en même temps par tous les points du plan mobile, sont des arcs de cercle avant le centre instantané pour centre; ils correspondent à la même rotation élémentaire : ils sont donc proportionnels à la distance des points au centre instantané.

Autrement dit : appelons V la vitesse linéaire d'un point P, w la

vitesse angulaire instantanée de rotation, r la distance du point P au centre instantané. On a :

NV or.

Pour un autre point P’, on aurait :

Vaman doit; Vi Ver Tr:

En particulier, le point du plan mobile qui coïncide avec le centre instantané de rotation est actuellement immobile.

3. — Pour connaître le centre instantané, il suffit de connaître les tangentes actuelles aux trajectoires de deux points quelconques du plan mobile. Pour connaître le lieu du centre instantané, il suffit de connaitre les trajectoires de deux points quelconques.

Inversement si, par un procédé quelconque (par exemple, celui qui vient d'être indiqué), nous pouvons déterminer la position actuelle du centre instantané, nous connaissons les normales (et par suite les tangentes) aux trajectoires de tous les points P du plan mobile pour la position actuelle. Il suffit de joindre ces points P au centre instantané pour obtenir les normales ; des droites perpendiculaires passant par les points P sont les tangentes.

Voici trois exemples fondamentaux : deux points du plan mobile sont assujettis à décrire : 1° deux droites du plan fixe (ellipsographe): 2° une droite et un cercle (système DIRHeRE elle) ; 3° deux cercles (parallélogramme de Watt).

140. Droite invariable dont les extrémités décrivent deux droites fixes. Ellipsographes.

Nous allons démontrer qu'un point quelconque du plan mobile décrit une eilipse. Nous Le savons (S 108) qu'un point — quelconque d’une droite dont deux points décrivent deux droites rectangulaires, décrit une ellipse; c'est sur ce théorème que repose la construction de l'ellipsographe. Il s’agit de ramener le problème actuel à ce cas particulier.

1°. — Cherchons le lieu des points du plan mobile qui décrivent des droites en même temps que les points B et D (fig. 106).

Par le point A (intersection des droites fixes & et à) et les points B et D, menons une

Fig. 106.

circonférence. Quand BD se déplace suivant la loi imposée, cette circonférence est entraînée, mais passe constamment par le point À. Cela résulte de la constance de la corde BD et aussi de l’angle GA3 ; l’arc BD qui mesure cet angle invariable, et auquel correspond une corde BD invariable, doit appartenir à une circonférence de rayon invariable et passant par le sommet A de l'angle.

Je dis qu’un point quelconque E de cette circonférence décrit une droite « passant par le point A. En effet, à l’arc invariable BE doit correspondre un angle constant BA.

9%. __ Il existe donc dans le plan mobile une infinité de points (situés sur une circonférence) qui décrivent simultanément des droites se coupant en un même point.

Par suite, on peut remplacer le mouvement imposé par le glissement sur deux droites rectangulaires fixes Ac, Ao, d'un segment invariable EF lié au plan mobile.

L'opération est possible d’une infinité de manières ; il suffit que EF soit un diamètre du cercle ci-dessus construit.

3°. — Soit enfin à déterminer la trajectoire d’un point quelconque P du plan mobile.

C'est une ellipse, puisqu'on l’obtient en imposant à deux points E E,F, d’une droite PO passant par P, des trajectoires rectilignes et récten. gulaires ($ 108). Les axes de l'ellipse sont dirigés Suivant Ac et Ao: leurs demi-longueurs sont égales à EP et FP.

#. — Si, conservant l’angle £A3, nous moditions la longueur BD, nous obtenons des ellipses homothétiques des précédentes. La proposition est évidente d’après la théorie des projections qu'on trouvera au Chapitre XVII. Le point de vue est un point d'une perpendiculaire élevée en A sur le plan fixe. Les plans de projection sont tous parallèles entre eux et au plan fixe.

2°. — Le centre instantané de rotatiôn, correspondant à la position actuelle du plan mobile, est le point C diamétralement opposé au point À. On l’obtient en menant des perpendiculaires en B sur AB, en D sur Ai, en E sur A:,.

Le lieu C des points C sur ile plan fixe est donc une circonférence de centre A et de rayon AC—20C. Le lieu [' des points C sur le plan mobile est évidemment le cercle de centre O et de rayon AO lui-même. Nous montrerons plus loin (il est du reste évident, en vertu de la définition du roulement sans glissement et de la remarque qui termine le % du $ 129) qu'on obtient le même mouvement du plan mobile en faisant rouler sans glissement le cercle T' sur le cercle C. Le mouvement est épicycloiïdal : le dispositif est connu sous le nom

d’engrenage de Lahire ($ 102).