Généralisation de la construction du centre instantané

1°. — Souvent le mouvement du plan mobile est défini par la trajectoire d’un de ses points, et par la condition qu’une courbe tracée sur lui glisse sur une courbe du plan fixe. Cherchons la position du centre instantané.

Par exemple (fig. 109, à droite) le point A du plan mobile décrit

Fig. 109.

la trajectoire fixe 4; la courbe IB du plan mobile glisse sur la courbe fixe 6.

Considérons le point de tangence B comme lié au plan mobile pendant un temps infiniment petit. Il décrit la tangente en B à l’une ou l’autre courbes IB ou $B, tangente que nous pouvons considérer comme appartenant au plan fixe; la normale correspondante est donc la normale commune à ces courbes. Ce qui permet de déterminer le centre instantané C.

2. — Comme cas particulier, la courbe £ se réduit à un point. On est ramené à la figure 109 à gauche. Le point À du plan mobile décrit la trajectoire x, la courbe IB passe par le point fixe B. Le

centre instantané est à l'intersection des normales à la courbe x

Fig. 410.

au point À et à la courbe IB au point B.

3%: — Enfin deux courbes du plan mobile peuvent être assujetties à rester tangentes à deux courbes fixes ou à passer par deux points fixes.

Soit, par exemple (fig. 110), deux droites du plan mobile assujetties à passer par les points À et B du plan fixe. Leur intersection 1 décrit évidemment un cercle. Menons les normales AC à AI, BC à BI: leur intersection C, centre instantané de rotation, est sur la circonférence lieu du point I, et il est diamétralement opposé à ce point.

144. Cas particulier : conchoïde, limaçon de Pascal, … 1°. — Comme cas particulier intéressant, considérons les courbes

Fig. 111.

décrites par un point D d’une droite (fig. 111) assujettie à passer par le point fixe A et dont le point B décrit la trajectoire A.

Si l’on connaît l'équation de cette trajectoire en coordonnées polaires, r—/f(6), le point À étant pris comme origine, on a immédiatement l'équation de la trajectoire du point D :

Voici deux exemples.

= f(8) + ro.

DO 7. Un

© GÉNÉRALITÉS SUR LES 2e. -— Coxcuoine. | Prenons une droite pour trajectoire A (fig. 112). Posons AO —a. Les différents points de la droite mobile décrivent des courbes appelées conchoïdes, et dont les équationsrentrent dans la forme : |

ROME ane rs | T— cos 0 Fr

Toutes ces courbes admettent Inérote 45%" ut pour asymptote.

Quand r, est positif ou négatif, et compris entre O0 et —a, les courbes ont la forme I et Il avec chacune deux points d'inflexion.

Quand r, est négatif et inférieur à — a, les courbes sont bou-

clées (IV). ConcAoie

Enfin si r,——a, la courbe possède un a | point de rebrousse- ll

ment; la tangente de rebroussement est AO (S 80, rh Fig. 412,

En eflet, l'équation de la courbe devient

À — cos Fame, à , " cos 0 :

r s’annule pour 6—0. Comme la courbe est évidemment symétrique par rapport à AO, AO est une tangente de rebroussement.