LiMAGON DE PASscaL

Prenons un cercle pour trajectoire A (fig. 113). Posons AO —à. Dans le triangle AOB on a :

R=r—+2—2racos6, r—acosô+yR?— a sin*0. (1)

Telle est l'équation du cerele en coordonnées polaires. Par suite, l'équation générale des courbes décrites par un point D quelconque sera :

r = r, + a cos 0 + YR?— à° sin 6 . (2)

La figure 113 représente deux courbes pour lesquelles on a donné à r, des valeurs égales et de signes contraires. Nous laissons au lec-

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teur-le soin de déterminer les diverses formes poses suivant les valeurs relatives de R, à, r.,.

Dans le cas particulier où Lo point À est sur le cercle (2—R), les équations (1) et (2) se simplifient. On a :

r—2Rcosô, ‘r—r, +2R cos. RoNtsE

Les équations (2°) représentent les limaçons de Pascal (K 149 et 237). Il se produit ici un phénomène curieux. Tandis que, dans le cas

général, les courbes qui correspondent aux valeurs égales et de signes contraires +r, se ferment respectivement et sont indépendantes l’une de l’autre, ici au contraire on n'obtient une courbe fermée qu'en cod dérant simultanément les deux valeurs + r,. Nous conseillons de construire les courbes pour une valeur r, et des valeurs de a de plus en plus voisines de R.

Les limaçons possèdent deux points d'inflexion pour r, >2R; un rebroussement pour 7,—2R; enfin une boucle pour r, << 2R.